[论文解读] Lower large deviations and laws of large numbers for maximal flows through a box in first passage percolation

Raphaël Rossignol, Marie Théret|ArXiv.org|Jan 7, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 3

一句话总结

本论文为 $\mathbb{Z}^d$ 上首次通过渗流中的最大流建立了下大偏差原理，表明经缩放后的流 $\tau/s$ 与 $\phi/s$ 出现异常偏小的概率以与表面积 $s$ 成比例的速度指数衰减。在最优矩条件下，利用近乎次可加性与集中不等式，证明了两种流的大数定律，将先前结果推广至一般方盒方向与更弱的矩假设。

ABSTRACT

We consider the standard first passage percolation model in $\mathbb{Z}^d$ for $d\geq 2$. We are interested in two quantities, the maximal flow $τ$ between the lower half and the upper half of the box, and the maximal flow $ϕ$ between the top and the bottom of the box. A standard subadditive argument yields the law of large numbers for $τ$ in rational directions. Kesten and Zhang have proved the law of large numbers for $τ$ and $ϕ$ when the sides of the box are parallel to the coordinate hyperplanes: the two variables grow linearly with the surface $s$ of the basis of the box, with the same deterministic speed. We study the probabilities that the rescaled variables $τ/s$ and $ϕ/s$ are abnormally small. For $τ$, the box can have any orientation, whereas for $ϕ$, we require either that the box is sufficiently flat, or that its sides are parallel to the coordinate hyperplanes. We show that these probabilities decay exponentially fast with $s$, when $s$ grows to infinity. Moreover, we prove an associated large deviation principle of speed $s$ for $τ/s$ and $ϕ/s$, and we improve the conditions required to obtain the law of large numbers for these variables.

研究动机与目标

• 为 $\mathbb{Z}^d$ 上首次通过渗流中的最大流 $\tau$ 与 $\phi$ 建立下大偏差原理，适用于一般方盒方向与高函数。
• 改进 $\tau$ 与 $\phi$ 的大数定律所需的矩条件，尤其针对非有理方向与非直立方盒的情形。
• 证明下大偏差概率随表面积 $s$ 指数快速衰减，从而在速度 $s$ 下建立大偏差原理。
• 将 Kesten 与 Zhang 关于 $\phi$ 的大数定律结果推广至更一般的方盒几何结构与更弱的矩假设。
• 在适当条件下，证明 $\phi$ 的率函数与 $\tau$ 的率函数一致，利用已有的上偏差结果。

提出的方法

• 利用最大流 $\tau_n$ 的近乎次可加性，规避非有理方向下次可加性失效的问题。
• 应用集中不等式与指数矩界，控制缩放流的下尾概率。
• 通过截断将问题约化至有界容量分布，再利用耦合论证将结果推广至一般分布。
• 依赖关键命题（命题 6.1），表明在温和条件下 $\phi$ 与 $\tau$ 具有相同的率函数。
• 利用 Théret（2007）关于 $\phi$ 上尾的大偏差原理，通过对称性与对偶性完成下尾分析。
• 应用 Fatou 引理与一致可积性，将几乎必然收敛提升为缩放流的 $L^1$ 收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般方盒方向，缩放最大流 $\tau/s$ 显著小于其渐近值的概率衰减速率如何？
• RQ2 在子可加性失效的非有理方向下，$\tau_n$ 的大数定律在何种矩条件下成立？
• RQ3 能否为非直立、扁平柱体或一般长方体方盒建立 $\phi_n$ 的下大偏差原理？
• RQ4 在相同条件下，$\phi_n$ 的下偏差率函数是否与 $\tau_n$ 的率函数相同？
• RQ5 与 Kesten 和 Zhang 的原始结果相比，$\phi_n$ 的大数定律所需矩条件能否进一步弱化？

主要发现

• 对于任意方盒方向，$\tau_n/s$ 出现异常偏小的概率随表面积 $s$ 指数快速衰减。
• 当方盒为扁平或侧面与坐标超平面平行时，$\phi_n$ 的下大偏差概率呈指数快速衰减。
• 在适当条件下，$\tau_n/s$ 与 $\phi_n/s$ 均建立了速度为 $s$ 的大偏差原理，且具有相同的率函数。
• 在最优矩条件 $\mathbb{E}[t(e)^{d-1}] < \infty$ 下，$\tau_n$ 的大数定律在任意固定方向（包括非有理方向）下成立。
• 对于 $\phi_n$，在更弱的矩条件与高度条件 $\log h(n)/n^{d-1} \to 0$ 下，大数定律成立，优于 Kesten 与 Zhang 的结果。
• 在相同条件下，$\phi_n$ 的率函数被证明与 $\tau_n$ 的率函数一致，证实了两者之间深层的联系。