[论文解读] Lowest order stabilization free Virtual Element Method for the 2D Poisson equation
该论文通过在局部虚拟空间中引入高阶多项式投影，首次提出了针对二维泊松方程的无稳定化虚拟元方法（E²VEM），实现了无需任意稳定化项的强制性。该方法在多边形网格上（包括非凸和各向异性情况）实现了最优的 H¹ 和 L² 收敛率，通过在不同顶点数的多边形单元上进行数值测试得到验证。
We introduce and analyse the first order Enlarged Enhancement Virtual Element Method (E$^2$VEM) for the Poisson problem. The method allows the definition of bilinear forms that do not require a stabilization term, thanks to the exploitation of higher order polynomial projections that are made computable by suitably enlarging the enhancement (from which comes the prefix of the name E$^2$) property of local virtual spaces. The polynomial degree of local projections is chosen based on the number of vertices of each polygon. We provide a proof of well-posedness and optimal order a priori error estimates. Numerical tests on convex and non-convex polygonal meshes confirm the criterium for well-posedness and the theoretical convergence rates.
研究动机与目标
- 通过增强局部多项式投影，消除虚拟元方法中对稳定化项的需求。
- 为具有任意多边形单元的多边形网格上的二维泊松问题，开发一种无稳定化公式。
- 证明最低阶公式的适定性及最优先验误差估计。
- 在凸、非凸及各向异性多边形网格上对方法进行数值验证。
- 证明高阶投影可实现无稳定化下的强制性，提升在复杂情况下的鲁棒性。
提出的方法
- 该方法在虚拟元空间中引入扩展增强（E²），以实现高阶多项式投影的计算。
- 仅使用多项式投影构造局部双线性形式，从而消除对稳定化项的需求。
- 投影的多项式次数 l 根据每个多边形的顶点数确定，其中 l ≥ ℓ̂(N_E^V) 可确保强制性。
- 在投影次数满足充分条件时，证明了适定性，其依赖于增强空间的结构。
- 离散问题通过局部投影和与标准 VEM 一致的自由度进行公式化，保持相同的自由度数量。
- 数值验证使用了包含三角形、六边形、八边形、十六边形及非凸多边形的网格序列，l 的选择基于局部刚度矩阵的秩分析。
实验结果
研究问题
- RQ1能否仅通过多项式投影构造出针对二维泊松方程的无稳定化虚拟元方法？
- RQ2对于具有 N_V 个顶点的多边形，确保离散双线性形式强制性的最小多项式次数 l 是多少？
- RQ3在非凸或多边形网格上，缺少稳定化项是否会影响收敛率？
- RQ4基于顶点数选择的 l 如何影响方法的条件数和稳定性？
- RQ5所提出的 E²VEM 公式能否在无稳定化条件下实现最优的 H¹ 和 L² 收敛率？
主要发现
- E²VEM 公式在所有测试的多边形网格上均实现了最优的 H¹ 收敛率，其阶为 O(h)，包括非凸和各向异性情况。
- 观察到最优的 L² 收敛率，阶为 O(h²)，补充材料中的数值结果已证实此结论。
- 对于具有 N_V 个顶点的多边形，满足 ℓ̂(N_V) 的最小 l 可确保强制性，其中 ℓ̂(N_V) = 2 对于六边形和八边形成立，ℓ̂(N_V) = 3 对于十六边形成立。
- 在非凸情况下，例如将中边顶点向形心坍缩形成的八边形，l = 2（即 ℓ̂(8) = 2）已足够维持强制性。
- 即使在具有对齐边或高顶点数（如 16 边形和 24 边形）的网格上，该方法仍保持最优收敛性。
- 数值结果证实，无稳定化项可提升各向异性扩散问题中的性能，如文献 [18] 所示。
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