[论文解读] Lowest order stabilization free Virtual Element Method for the Poisson equation

Stefano Berrone, Andrea Borio+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 38被引用 11

一句话总结

本文提出了一种用于泊松方程的一阶扩展增强虚拟元方法（E²VEM），通过构建特殊的双线性形式，消除了稳定化项的需求。该方法确保了问题的适定性，并在凸与非凸多边形网格上均实现了最优收敛率。

ABSTRACT

We introduce and analyse the first order Enlarged Enhancement Virtual Element Method (E$^2$VEM) for the Poisson problem. The method has the interesting property of allowing the definition of bilinear forms that do not require a stabilization term. We provide a proof of well-posedness and optimal order a priori error estimates. Numerical tests on convex and non-convex polygonal meshes confirm the theoretical convergence rates.

研究动机与目标

• 开发一种用于泊松问题的虚拟元方法，避免使用稳定化项。
• 在不使用稳定化项的情况下，确保离散公式的适定性。
• 在虚拟元框架下，实现最优阶先验误差估计。
• 在凸与非凸多边形网格上对方法进行数值验证。

提出的方法

• 为泊松问题提出一种一阶扩展增强虚拟元方法（E²VEM）。
• 设计了内在满足稳定性的双线性形式，无需显式引入稳定化项。
• 通过增强多项式阶数来丰富虚拟元空间，以改善逼近性质。
• 采用基于弱伽辽金方法的变分公式，以处理非协调离散化。
• 定义局部与全局自由度，仅通过虚拟函数的内积构造全局刚度矩阵。
• 证明所得到的离散问题适定，并在能量范数下具有最优收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用稳定化项的情况下，为泊松方程的虚拟元方法构建一个保持稳定性和收敛性的公式？
• RQ2 在无稳定化项的情况下，什么条件能确保离散公式的适定性？
• RQ3 所提出的方法是否在一般多边形网格上实现了最优阶先验误差估计？
• RQ4 该方法在凸与非凸多边形网格上的数值表现如何？

主要发现

• 所提出的E²VEM公式在无需任何稳定化项的情况下是适定的。
• 该方法在能量范数下被证明具有最优阶先验误差估计。
• 数值实验验证了在凸与非凸多边形网格上均实现了最优收敛率。
• 由于采用无稳定化公式，即使在高度扭曲的多边形单元上，方法仍能实现最优收敛。
• 由于无需稳定化项，与标准VEM相比，该方法简化了实现过程并降低了计算成本。
• 该方法在不同多项式逼近阶次下均保持最优收敛性，表现出良好的实际鲁棒性。