[论文解读] LP approximations to mixed-integer polynomial optimization problems

Daniel Bienstock, Gonzalo Muñoz|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用 11

一句话总结

本文提出了一种新颖的线性规划（LP）近似框架，用于混合整数多项式优化问题，通过在约束交集图中利用有界树宽的结构化稀疏性。证明了对于任意容差 ϵ > 0，存在一个多项式规模的LP公式，其变量和约束数量为 O((2π/ϵ)^{ω+1} n log(π/ϵ))，可行性与最优性容差与 ϵ 成正比，并将该方法应用于为有界树宽图上的 AC-OPF 问题提供一个多项式时间近似方案（PTAS）。

ABSTRACT

We present a class of linear programming approximations for constrained optimization problems. In the case of mixed-integer polynomial optimization problems, if the intersection graph of the constraints has bounded tree-width our construction yields a class of linear size formulations that attain any desired tolerance. As a result, we obtain an approximation scheme for the "AC-OPF" problem on graphs with bounded tree-width. We also describe a more general construction for pure binary optimization problems where individual constraints are available through a membership oracle; if the intersection graph for the constraints has bounded tree-width our construction is of linear size and exact. This improves on a number of results in the literature, both from the perspective of formulation size and generality.

研究动机与目标

• 为具有可证明误差边界的混合整数多项式优化问题开发紧凑且多项式规模的LP公式。
• 通过约束矩阵交集图的树宽，利用其结构化稀疏性。
• 为有界树宽图上的 AC-OPF 问题提供一个多项式时间近似方案（PTAS）。
• 通过树分解与约束一致性，将现有提升公式技术推广至多项式与混合整数设置。
• 建立近似质量的理论极限，表明在公式规模中对 ϵ 的依赖关系在除非 P=NP 的复杂性假设下是紧致的。

提出的方法

• 构建约束交集图的树分解，其中每个节点对应一个大小有界的变量子集（团大小 ≤ ω+1）。
• 为每个树分解节点 t 定义可行配置（F_t），表示所有变量位于袋 Q_t 内的约束所满足的变量赋值。
• 为每个可行配置 v ∈ F_t 引入辅助变量 λ^t_v，以及为每个子集 S ⊆ Q_t 引入变量 Z_S，以确保树节点间的连贯性。
• 使用约束 (27b) 和 (27c) 确保 Z_S 表示可行解特征向量的凸组合，从而形成一个提升的LP松弛。
• 将 Lovász-Schrijver 提升技术限制在树分解袋上，以确保解多面体的整数性。
• 利用有界树宽将每个袋中的配置数量限制在 O(2^ω)，从而得到总公式规模为 O(|V(T)|2^ω) = O(n 2^ω)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在约束交集图具有有界树宽的前提下，能否为混合整数多项式优化问题构造一个具有可证明误差边界的多项式规模LP公式？
• RQ2 能否通过LP松弛为有界树宽图上的 AC-OPF 问题实现多项式时间近似方案（PTAS）？
• RQ3 约束交集图的树宽如何影响多项式混合整数规划问题的LP近似公式规模与精度？
• RQ4 Lovász-Schrijver 提升技术能否被适配至具有结构化稀疏性的多项式与混合整数问题？
• RQ5 在公式规模方面，对容差 ϵ 的最优依赖关系是什么？在复杂性理论假设下，该依赖关系是否紧致？

主要发现

• 对于任意 ϵ > 0，本文构造了一个LP公式，其变量和约束数量为 O((2π/ϵ)^{ω+1} n log(π/ϵ))，可将混合整数多项式问题的可行性容差控制在 Fϵ 内，最优性容差控制在 ||c||₁ϵ 内。
• 公式规模随 O(ϵ^{-ω-1} log ϵ^{-1}) 增长，且该依赖关系在除非 P=NP 的假设下被证明是紧致的。
• 该方法为有界树宽图上的 AC-OPF 问题提供了多项式时间近似方案（PTAS）。
• LP公式的解多面体是整数的，意味着当原始问题具有有界树宽时，它精确表示可行解的凸包。
• 该构造可推广至具有约束成员查询接口的纯二值问题，在交集图具有有界树宽时，可实现精确且线性规模的公式。
• 该方法在无需显式枚举所有可行解的前提下，实现了可证明的近似边界，通过树分解节点间的动态规划式一致性实现。