[论文解读] Lp-integrability of the gradient of solutions to quasilinear systems with discontinuous coefficients

Lubomira G. Softova|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 5

一句话总结

该论文建立了在 Reifenberg-flat 域中具有不连续系数的拟线性椭圆与抛物型系统弱解梯度的 $L^p$-可积性。通过利用 BMO 系数、受控增长条件以及改进的 Gehring 型引理，证明了当 $p > 2$ 时，$D\mathbf{u} \in L^p$，且 $p$ 明确依赖于数据，将正则性结果扩展至自然的 $L^2$ 设置之外。

ABSTRACT

The Dirichlet problem for a class of quasilinear elliptic systems of equations with small-BMO coefficients in Reifenberg-flat domain is considered. The lower order terms supposed to satisfy controlled growth conditions. It is obtained Lp-integrability with p>2 of the gradient of the solution where p depends explicitly on the data. An analogous result is obtained also for the Cauchy-Dirichlet problem for quasilinear parabolic systems.

研究动机与目标

• 建立具有不连续系数的拟线性椭圆与抛物型系统弱解梯度 $D\mathbf{u}$ 的更高阶可积性。
• 分析在 $\mathbf{u}$ 和 $D\mathbf{u}$ 上的低阶项受控增长条件下解的正则性。
• 将 Calderón–Zygmund 型估计推广至具有小 BMO 系数的低正则性域（Reifenberg-flat）中的系统。
• 推导可积性指数 $p$ 对数据的显式依赖关系，包括低阶项的 $L^p$ 和 $L^q$ 范数。
• 通过逼近和迹定理，将结果从光滑或 Lipschitz 域推广至更广泛的 Reifenberg-flat 域类。

提出的方法

• 使用适用于具有受控增长和小 BMO 系数系统的改进版 Gehring 引理。
• 通过梯度 $D\mathbf{u}$ 的反 Hölder 不等式，在存在受控增长低阶项的情况下应用 Calderón–Zygmund 性质。
• 通过固定低阶项中的 $\mathbf{u}$ 和 $D\mathbf{u}$ 对拟线性系统进行线性化，将问题简化为线性系统。
• 将数据延拓至更大的 $C^2$ 域 $\Omega'$，并应用热算子和椭圆算子的已知 $L^q$ 估计，以控制 $Q = \Omega \times (0,T)$ 中的解。
• 应用 Reifenberg-flat 边界的迹定理，确保 $F^i|_S \in W^{2-1/q_1, 1-1/(2q_1)}(S)$，从而在简化系统中实现边界控制。
• 通过 $k$ 次迭代的自举论证，逐步提高可积性指数 $p$，其中 $k$ 依赖于指数之比和初始的 $r_0$-正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 Reifenberg-flat 域中为具有不连续系数的拟线性椭圆系统建立梯度 $D\mathbf{u}$ 的 $L^p$-可积性？
• RQ2 可积性指数 $p > 2$ 如何依赖于数据，特别是低阶项的 $L^p$ 和 $L^q$ 范数？
• RQ3 在 Reifenberg-flat 空间-时间柱体中，具有受控增长和小 BMO 系数的拟线性抛物系统是否满足 Calderón–Zygmund 性质？
• RQ4 能否通过逼近和迹理论，将正则性结果从光滑或 Lipschitz 域推广至更一般的 Reifenberg-flat 域类？
• RQ5 为实现 $D\mathbf{u}$ 的 $L^p$-可积性（$p > 2$），所需的最少自举步数 $k$ 是多少？

主要发现

• 任意有界弱解 $\mathbf{u} \in W_0^{1,2} \cap L^\infty(\Omega; \mathbb{R}^N)$ 的梯度 $D\mathbf{u}$ 属于 $L^p(\Omega; \mathbb{R}^{N \times n})$，其中 $p > 2$，且 $p$ 明确依赖于数据。
• 可积性指数 $p$ 满足 $p = \min\{p, q^*\}$，其中 $q^*$ 是 $q$ 的 Sobolev 共轭，且 $q > \frac{2n}{n+2}$，在给定条件下确保 $p > 2$。
• 对于抛物情形，对所有 $r \in [2, r_0)$ 有 $\|D\mathbf{u}\|_{r,Q} \leq N$，其中 $r_0 > 2$，且 $r_0$ 依赖于数据和 $\|D\mathbf{u}\|_{2,Q}$。
• 经过 $k$ 次自举迭代后，$D\mathbf{u} \in L^p$，其中 $p$ 依赖于 $r_0$、$n$ 以及受控增长条件中的指数。
• 该结果对椭圆与抛物系统均成立，抛物情形依赖于延拓至 $C^2$ 域及 Reifenberg-flat 边界上的迹定理。
• 最终估计 $\|D\mathbf{u}\|_{r_1,Q} \leq C(1 + \|\mathbf{f}\|_{q_1,Q} + \|\mathbf{A}\|_{p,Q})$ 确认了可积性对低阶项范数的依赖关系。