[论文解读] LP-rounding Algorithms for the Fault-Tolerant Facility Placement Problem

Yan Li, Marek Chrobák|arXiv (Cornell University)|May 7, 2012

Facility Location and Emergency Management参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于故障容错设施放置（FTFP）问题的1.575-近似算法，采用线性规划舍入方法，通过需求缩减和自适应划分，将问题转化为可应用现有无容量限制设施选址（UFL）近似技术的形式。该方法保持了最优的1.575近似比，与经典无容量限制设施选址问题的最佳已知结果一致。

ABSTRACT

The Fault-Tolerant Facility Placement problem (FTFP) is a generalization of the classic Uncapacitated Facility Location Problem (UFL). In FTFP we are given a set of facility sites and a set of clients. Opening a facility at site $i$ costs $f_i$ and connecting client $j$ to a facility at site $i$ costs $d_{ij}$. We assume that the connection costs (distances) $d_{ij}$ satisfy the triangle inequality. Multiple facilities can be opened at any site. Each client $j$ has a demand $r_j$, which means that it needs to be connected to $r_j$ different facilities (some of which could be located on the same site). The goal is to minimize the sum of facility opening cost and connection cost. The main result of this paper is a 1.575-approximation algorithm for FTFP, based on LP-rounding. The algorithm first reduces the demands to values polynomial in the number of sites. Then it uses a technique that we call adaptive partitioning, which partitions the instance by splitting clients into unit demands and creating a number of (not yet opened) facilities at each site. It also partitions the optimal fractional solution to produce a fractional solution for this new instance. The partitioned instance satisfies a number of properties that allow us to exploit existing LP-rounding methods for UFL to round our partitioned solution to an integral solution, preserving the approximation ratio. In particular, our 1.575-approximation algorithm is based on the ideas from the 1.575-approximation algorithm for UFL by Byrka et al., with changes necessary to satisfy the fault-tolerance requirement.

研究动机与目标

• 开发一种用于故障容错设施放置（FTFP）问题的常数因子近似算法，该问题是经典无容量限制设施选址（UFL）问题的推广。
• 弥合UFL的最佳已知近似比（1.575）与FTFP此前较弱的3.16边界之间的差距。
• 通过解决任意客户需求和每处站点多个设施的挑战，将UFL的线性规划舍入技术扩展至FTFP。
• 证明可通过问题实例的新型结构变换，将UFL中可实现的1.575近似比保留在FTFP中。

提出的方法

• 该算法首先将客户需求缩减为站点数量的多项式规模，同时保持近似比不变。
• 引入自适应划分，将客户划分为单位需求组件，并在每个站点创建虚拟设施，将原始实例转换为具有修改后分数解的新实例。
• 划分后的分数解满足可使用现有UFL线性规划舍入技术（如Byrka等人提出的1.575-近似算法）进行舍入的性质。
• 通过在划分后的实例中仔细平衡设施开启成本与连接成本，确保舍入过程维持近似保证。
• 分析依赖于概率舍入和期望成本界，使用参数γ = 1.575以优化设施成本与连接成本之间的权衡。
• 期望总成本被限制在最优线性规划松弛值的1.575倍以内，从而证明了该近似比。

实验结果

研究问题

• RQ1 UFL的1.575-近似比能否扩展至具有任意客户需求和每处站点多个设施的更一般的FTFP问题？
• RQ2 对FTFP实例进行何种结构变换，可使现有UFL线性规划舍入技术得以应用，同时保持近似比？
• RQ3 是否可能在不降低FTFP近似质量的前提下，将高需求客户缩减为多项式规模？
• RQ4 如何设计客户与设施的自适应划分，以在舍入解中保持可行性与成本界？
• RQ5 用于FTFP的技术能否被调整以解决仅允许每处站点一个设施的故障容错设施定位（FTFL）问题？

主要发现

• 本文通过线性规划舍入，为FTFP问题实现了1.575-近似算法，与UFL的最佳已知比值一致。
• 该算法基于一种新颖的需求缩减技术，将高需求客户转换为多项式规模的等效形式，且不损失近似质量。
• 自适应划分使得虚拟设施的创建和分数解的重构成为可能，这些解满足UFL风格舍入所需的性质。
• 舍入解的期望成本被限制在最优线性规划值的1.575倍以内，从而证明了1.575-近似保证。
• 通过使用γ = 1.575的概率分析，仔细平衡设施成本与连接成本的贡献，从而保持了近似比。
• 结果表明，尽管增加了容错性和每处站点多个设施的复杂性，FTFP仍可通过线性规划舍入实现与UFL同等程度的近似。