[论文解读] Lp Solutions of Quadratic BSDEs

Hanlin Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文在弱增长与凸性条件下，建立了具有 L^p 终值（p > 1）的一般类二次倒向随机微分方程（BSDE）的 L^p 解的存在性、唯一性与稳定性。通过采用 L^p 型估计与 θ-技术，推广了先前结果，推导出比较定理，并为相关二次 PDE 的粘性解提供了概率表示。

ABSTRACT

We study a general class of quadratic BSDEs with terminal value in Lp for p > 1. First of all, we give an Lp-type estimate and existence result. Under the additional assumption of monotonicity and convexity, we derive the comparison theorem, uniqueness and stability result via θ-technique (Briand and Hu [7]). The assumptions employed throughout this paper are rather weak and extend the quadratic BSDE literature. Finally, a probabilistic representation for the viscosity solution to the associated quadratic PDEs is given.

研究动机与目标

• 建立具有 L^p 终值（p > 1）的二次 BSDE 的 L^p 解的存在性。
• 在单调性与凸性假设下，扩展比较定理、唯一性与稳定性结果。
• 通过在生成器上施加弱增长条件，统一处理二次与非二次 BSDE 的方法。
• 为相关二次 PDE 的粘性解提供概率表示。
• 通过放松对终端条件与生成器的可积性与增长假设，推广先前结果。

提出的方法

• 利用广义 Itô 公式对 |y|^p（p ≥ 1）推导 L^p 型先验估计。
• 应用 Briand 和 Hu（2003）提出的 θ-技术，在凸性与单调性条件下证明比较性、唯一性与稳定性。
• 结合局部化过程与单调稳定性，从逼近有界 BSDE 构造解。
• 利用 Krylov 估计控制生成器中的二次增长项 f(|y|)|z|^2。
• 通过马氏框架构造解，将 BSDE 与前向 SDE 联系起来，并应用 Feynman-Kac 公式。
• 利用粘性解定义与 Itô 公式，验证解在粘性意义下满足 PDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有 L^p 终值的二次 BSDE 允许 L^p 解存在？
• RQ2 当终端值无界时，如何为二次 BSDE 建立比较性、唯一性与稳定性结果？
• RQ3 θ-技术能否被调整以处理形式为 f(|y|)|z|^2 的二次生成器？
• RQ4 二次 BSDE 的解与关联 PDE 的粘性解之间有何联系？
• RQ5 对生成器与终端条件施加弱假设，如何影响解的存在性与正则性？

主要发现

• 为满足 |F(t,y,z)| ≤ α_t + φ(|y|) + γ|z| + f(|y|)|z|^2 的生成器，建立了二次 BSDE 的 L^p 型先验估计。
• 在终端条件与 ∫₀ᵀ α_s ds 属于 L^p（p > 1）的假设下，证明了 L^p 解的存在性。
• 在生成器单调与凸的条件下，比较定理成立，确保解的顺序保持性。
• 在相同单调性与凸性条件下，通过 θ-技术建立了解的唯一性。
• 在相同假设下，证明了解在 L^p 范数下的稳定性。
• 推导出概率表示：BSDE 的解 Y_t 是关联二次 PDE 的粘性解，且满足多项式增长界 |u(t,x)| ≤ c(1 + |x|^q)。