[论文解读] Lq Harmonic Functions on Graphs

Bobo Hua, Jürgen Jost|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文建立了在加权图上关于调和函数与非负次调和函数的 $L^q$ Liouville 定理，证明了在任意无限、连通、局部有限的加权图上，即使不施加曲率或度数有界条件，非平凡的 $L^q$ 函数（$1 \leq q < \infty$）也不存在。关键贡献在于提出了一种新的 $L^q$ Caccioppoli 型不等式，该不等式可实现定量增长估计，并填补了先前研究在 $1 < q < 2$ 情况下的空白；同时，也展示了 $0 < q < 1$ 情况下的反例。该结果通过主定理的迭代应用，可推广至多调和函数。

ABSTRACT

We prove an analogue of Yau's Caccioppoli-type inequality for nonnegative subharmonic functions on graphs. We then obtain a Liouville theorem for harmonic or non-negative subharmonic functions of class Lq, 1&lt;=q 1. Also, we provide counterexamples for Liouville theorems for 0 &lt; q &lt; 1.

研究动机与目标

• 在无曲率或度数有界条件的前提下，建立一般加权图上 $L^q$ 调和函数与非负次调和函数的 Liouville 型定理。
• 通过 Caccioppoli 型不等式，解决图上 $L^q$ Liouville 定理中 $1 < q < 2$ 情况的开放问题，该问题此前由 Rigoli-Salvatori-Vignati 未能解决。
• 为 $L^q$（$q > 1$）中的非负次调和函数提供一个定量的生长条件版本。
• 通过在有限体积与无限体积图上构造显式反例，证明 $L^q$ Liouville 定理在 $0 < q < 1$ 时不成立。
• 将 $L^q$ Liouville 结果推广至无限体积图上的高阶多调和算子。

提出的方法

• 为图上的非负次调和函数推导一种新的 $L^q$ Caccioppoli 型不等式，其形式类似于黎曼几何中 Yau 的结果。
• 利用 Caccioppoli 不等式证明一个定量增长估计：对于非平凡的非负次调和函数 $f \in L^q$（$1 < q < \infty$），有 $\liminf_{R\to\infty} \frac{1}{R^2} \sum_{B_R(p)} f^q(x) \mu_x = \infty$。
• 通过证明任意非负 $L^1$ 次调和函数必为调和函数，再结合截断与调和性，推导出其为常数，从而证明 $L^1$ Liouville 定理。
• 通过构造有限体积与无限体积图上的显式反例，证明在 $0 < q < 1$ 时存在非平凡的 $L^q$ 调和函数。
• 通过证明若 $\Delta^m f = 0$ 且 $f \in L^q$，则在无限体积图上当 $1 \leq q < \infty$ 时必有 $f \equiv 0$，将 $L^q$ Liouville 定理应用于高阶算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无曲率或度数有界条件的任意加权图上，非负次调和函数的 $L^q$ Liouville 定理是否对 $1 \leq q < \infty$ 成立？
• RQ2 能否通过 Caccioppoli 型不等式填补图上 $L^q$ Liouville 定理中 $1 < q < 2$ 情况的空白？
• RQ3 当 $0 < q < 1$ 时情况如何？图上是否存在非平凡的 $L^q$ 调和函数？
• RQ4 $L^q$ Liouville 定理能否推广至图上高阶椭圆算子的解？
• RQ5 $L^1$ Liouville 定理在无额外曲率假设的图上是否成立？

主要发现

• 本文证明了，在任意无限、连通、局部有限的加权图上，若非负次调和函数 $f$ 属于 $L^q$（$1 < q < \infty$），则必有 $\liminf_{R\to\infty} \frac{1}{R^2} \sum_{B_R(p)} f^q(x) \mu_x = \infty$，从而确立了定量增长条件。
• 对于 $q = 1$，本文证明了在图上任意非负 $L^1$ 次调和函数必为常数，且无需曲率或度数有界条件。
• 作者在有限体积图上构造了一个非平凡调和函数属于 $L^q$（$0 < q < 1$）的反例，表明在此情形下 $L^q$ Liouville 定理不成立。
• 在另一无限体积图上也给出了反例，表明当 $0 < q < 1$ 时，非平凡的 $L^q$ 调和函数确实存在，从而再次否定 Liouville 定理。
• 本文将 $L^q$ Liouville 定理推广至多调和函数：若 $f \in L^q$ 且在无限体积图上 $\Delta^m f = 0$（$m \geq 2$），则对所有 $1 \leq q < \infty$ 必有 $f \equiv 0$。