[论文解读] LQG Control Approach to Gaussian Broadcast Channels with Feedback

Ehsan Ardestanizadeh, Paolo Minero+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2011

Distributed Sensor Networks and Detection Algorithms参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于LQG控制的高斯广播信道编码方案，利用线性二次型高斯最优控制理论设计了一种节能的传输策略。结果表明，反馈可使和容量的预对数因子达到 $k - r + 1$（其中噪声协方差矩阵的秩为 $r$），并实现和速率 $\frac{1}{2}\log(1 + P\phi)$（$\phi \in [1,k]$），在两用户情况下优于Ozarow-Leung和Elia等先前方案。

ABSTRACT

A code for communication over the k-receiver additive white Gaussian noise broadcast channel with feedback is presented and analyzed using tools from the theory of linear quadratic Gaussian optimal control. It is shown that the performance of this code depends on the noise correlation at the receivers and it is related to the solution of a discrete algebraic Riccati equation. For the case of independent noises, the sum rate achieved by the proposed code, satisfying average power constraint P, is characterized as 1/2 log (1+P*phi), where the coefficient "phi" in the interval [1,k] quantifies the power gain due to the presence of feedback. When specialized to the case of two receivers, this includes a previous result by Elia and strictly improves upon the code of Ozarow and Leung. When the noises are correlated, the pre-log of the sum-capacity of the broadcast channel with feedback can be strictly greater than one. It is established that for all noise covariance matrices of rank r the pre-log of the sum capacity is at most k-r+1 and, conversely, there exists a noise covariance matrix of rank r for which the proposed code achieves this upper bound. This generalizes a previous result by Gastpar and Wigger for the two-receiver broadcast channel.

研究动机与目标

• 开发一种可计算的、基于控制理论的高斯广播信道反馈编码方案，以改进现有方案。
• 利用最优控制理论工具，表征反馈下广播信道的和速率与预对数容量。
• 确定接收端噪声相关性对可实现和速率与自由度的影响。
• 建立预对数容量的紧致上界，并证明所提出的LQG编码在特定噪声协方差结构下可达到这些上界。

提出的方法

• 作者将带反馈的广播信道映射为具有不稳定开环动态特性的线性动态系统，并引入状态相关控制。
• 应用线性二次型高斯（LQG）控制理论，推导出最小方差稳定控制器，进而构建通信编码。
• 编码设计使得每个时刻的控制输入对应于信道输入，状态演化用于建模消息编码。
• 译码器基于接收信号和已知系统动态，利用递归最小二乘估计方法估计消息。
• 通过求解离散代数Riccati方程（DARE）分析性能，该方程决定了可靠传输所需的最小功率。
• 预对数容量由噪声协方差矩阵的秩导出，上界通过系统理论论证证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高斯广播信道中，反馈能否实现比无反馈更高的和速率？
• RQ2 接收端噪声的相关结构如何影响可实现和容量与自由度？
• RQ3 最优控制理论能否用于设计一种可计算且高效的反馈广播信道编码方案？
• RQ4 对于具有反馈的 $k$-用户高斯广播信道，最大预对数容量是多少？在何种噪声条件下可达到？
• RQ5 所提出的基于LQG的编码是否在给定噪声协方差秩下达到预对数容量的理论紧上界？

主要发现

• 在平均功率约束 $P$ 下，LQG编码实现和速率 $\frac{1}{2}\log(1 + P\phi)$，其中 $\phi \in [1,k]$，$\phi$ 表征反馈增益。
• 对于独立噪声，当 $P \to \infty$ 时，预对数容量为 $k$，与单输入多输出（SIMO）信道的和容量一致。
• 当噪声协方差矩阵的秩为 $r$ 时，预对数容量的上界为 $k - r + 1$，且对某些噪声矩阵该上界是紧的。
• 所提出的编码对任意 $r \in \{1, \dots, k\}$ 均可达到上界 $k - r + 1$，将Gastpar与Wigger的先前结果推广至 $k$ 个用户。
• 对于两用户且噪声独立的情况，LQG编码与Elia的结果一致，并严格优于Ozarow-Leung编码。
• 可靠传输所需的最小功率由离散代数Riccati方程（DARE）的解决定。