[论文解读] Luenberger observers for infinite-dimensional systems, Back and Forth Nudging and application to a crystallization process

Lucas Brivadis, Vincent Andrieu+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 21被引用 16

一句话总结

本文在弱可检测性假设下，为时变无限维系统设计了Luenberger观测器，实现了弱拓扑下的渐近状态估计，并在附加条件下实现强收敛。该方法将Back and Forth Nudging算法应用于由一维对流方程（周期边界条件）建模的结晶过程，基于弦长分布数据重构初始状态并估计晶粒尺寸分布。

ABSTRACT

This paper deals with the observer design problem for time-varying linear infinite-dimensional systems. We address both the problem of online estimation of the state of the system from the output via an asymptotic observer, and the problem of offline estimation of the initial state via a Back and Forth Nudging (BFN) algorithm. In both contexts, we show under a weak detectability assumption that a Luenberger-like observer may reconstruct the so-called observable subspace of the system. However, since no exact observability hypothesis is required, only a weak convergence of the observer holds in general. Additional conditions on the system are required to show the strong convergence. We provide an application of our results to a batch crystallization process modeled by a one-dimensional transport equation with periodic boundary conditions, in which we try to estimate the Crystal Size Distribution from the Chord Length Distribution.

研究动机与目标

• 针对无需精确可观测性的时变线性无限维系统，解决状态估计问题。
• 将Back and Forth Nudging算法扩展至具有弱可检测性的系统中，实现离线初始状态重构。
• 在弱可检测性假设下，建立观测器在可观测子空间上的弱收敛性；在附加系统假设下，实现强收敛性。
• 将理论框架应用于由时变对流方程建模的实际批次结晶过程。
• 基于非直接可观测的标准方法无法获取的弦长分布测量数据，估计晶粒尺寸分布。

提出的方法

• 在弱可检测性条件下，提出一种适用于时变无限维系统的Luenberger型观测器，其中具有相同输出的轨迹间距离非增。
• 引入一种Back and Forth Nudging（BFN）算法，通过在时间上正向与反向迭代运行，实现初始状态的重构。
• 采用可观测子空间的概念，即在一段时间间隔内可通过输出测量加以区分的状态集合。
• 在弱可检测性假设下，证明观测器弱收敛于状态在可观测子空间上的投影。
• 推导出观测器实现强收敛的条件，涉及系统的附加结构性质。
• 将该框架应用于具有周期边界条件的一维对流方程，以建模结晶过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖精确可观测性的情况下，为时变无限维系统设计Luenberger观测器？
• RQ2 在何种条件下，观测器会弱收敛或强收敛于可观测子空间？
• RQ3 当仅满足弱可检测性时，Back and Forth Nudging算法能否重构时变系统的初始状态？
• RQ4 所提出的观测器框架如何应用于具有非精确可观测性的实际结晶过程？
• RQ5 在基于对流的结晶模型中，是否可能从弦长分布数据估计晶粒尺寸分布？

主要发现

• 在弱可检测性假设下，Luenberger观测器弱收敛于状态在可观测子空间上的投影。
• 当满足系统特定的附加条件（如耗散性或谱性质）时，观测器实现强收敛。
• Back and Forth Nudging算法在所考虑的结晶模型中成功实现了强拓扑下的初始状态重构，即使在缺乏精确可观测性的情况下亦成立。
• 理论框架被应用于具有周期边界条件的一维对流方程，以建模批次结晶过程。
• 该方法实现了从FBRM®系统中唯一可用的在线测量——弦长分布数据——中估计晶粒尺寸分布。
• 分析结果表明系统并非精确可观测，从而验证了所提出的弱收敛观测器框架的必要性。