[论文解读] Lusztig's $a$-function for Coxeter groups with complete graphs

Nanhua Xi|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 16

一句话总结

该论文证明了当有限抛物子群的阶在整体上一致有界时，对于柯克斯eter图完全的柯克斯eter群（即所有单个反射对均非交换），卢茨蒂格的 $a$-函数是有界的。关键结果表明，此类群具有一个最低的双侧细胞，且 $a$-函数的上界等于最大有限抛物子群中长函数的长度，从而将已知关于仿射 Weyl 群和典型群的结果推广到了更广泛的柯克斯eter群类。

ABSTRACT

We show that Lusztig's $a$-function of a Coxeter group is bounded if the Coxeter group has a complete graph (i.e. any two vertices are joined) and the cardinalities of finite parabolic subgroups of the Coxeter group have a common upper bound.

研究动机与目标

• 研究具有完全柯克斯eter图的柯克斯eter群中卢茨蒂格的 $a$-函数的有界性。
• 确定 $a$-函数是否能被有限抛物子群中长函数的长度所界定。
• 建立此类柯克斯eter群中最低双侧细胞的存在性。
• 将关于仿射 Weyl 群和典型群的 $a$-函数有界性结果推广至更广泛的柯克斯eter群类。

提出的方法

• 利用 Hecke 代数中的 Kazhdan-Lusztig 基与结构常数 $h_{w,u,v}$，通过 $q^{1/2}$ 的次数分析 $a$-函数。
• 应用等价关系 $f_{w,u,v} = f_{u,v^{-1},w^{-1}}$ 及多项式次数界，将 $a(v)$ 与结构常数的最大次数关联起来。
• 利用 Bruhat 序与有限抛物子群中长元素的存在性，推导出 $a(w)$ 的上界。
• 利用 Kazhdan-Lusztig 多项式的非负性及特殊对合元的结构，分析细胞分解。
• 通过反证法与 $LR$-预序下的细胞比较，证明具有最大 $a$-值的元素位于最低的双侧细胞中。
• 应用 [KL] 与 [L3] 中关于细胞等价性与 $ ilde{T}_w$ 乘法的结果，推导出 $a(v)$ 的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有完全柯克斯eter图的柯克斯eter群的卢茨蒂格 $a$-函数是有界的？
• RQ2 对于此类群，$a$-函数能否被有限抛物子群中长函数的长度所界定？
• RQ3 有界 $a$-函数的存在是否意味着群中存在最低的双侧细胞？
• RQ4 秩为 2 的有限抛物子群的结构如何影响完全柯克斯eter群中双侧细胞的数量？
• RQ5 对于具有完全图的典型柯克斯eter群，其双侧细胞数量是否等于 $|O| + 2$，其中 $|O|$ 为秩-2 有限抛物子群的同构类数量？

主要发现

• 对于具有完全柯克斯eter图且有限抛物子群一致有界的任意柯克斯eter群，$a$-函数是有界的。
• 该 $a$-函数的最大值等于最大有限抛物子群中长函数的长度。
• 该群具有一个最低双侧细胞，其中包含所有满足 $a(w)$ 最大的元素 $w$。
• 对于具有完全图的典型柯克斯eter群，其双侧细胞数量为 $|O| + 2$，其中 $|O|$ 为秩-2 有限抛物子群的同构类数量。
• 对于具有完全图的秩-3 柯克斯eter群，$a$-函数是有界的，且群恰好有三个双侧细胞：$\{e\}$、具有唯一约化表达式的元素，以及具有多重约化表达式的元素。
• $a$-函数的上界为任意有限抛物子群中长函数的长度，且当该子群为最大时，该上界是紧的。