[论文解读] Lyapounov exponent and density of states of a one-dimensional non-Hermitian Schroedinger equation

Bernard Derrida, Jesper Lykke Jacobsen+1 more|ArXiv.org|Jun 16, 1999

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文通过数值方法研究了一维非厄米哈密顿量中非对角 disorder 的 Lyapounov 指数和态密度。研究发现，这两个量仅依赖于能量 E 的模长，且在 |E| = 2/√3 处出现一个尖锐的态密度峰，该峰与关联随机映射的不动点结构有关。此外，本文推导出 ρ(|E|) 的高阶渐近幂级数展开式。

ABSTRACT

We calculate, using numerical methods, the Lyapounov exponent gamma(E) and the density of states rho(E) at energy E of a one-dimensional non-Hermitian Schroedinger equation with off-diagonal disorder. For the particular case we consider, both gamma(E) and rho(E) depend only on the modulus of E. We find a pronounced maximum of rho(|E|) at energy E=2/sqrt(3), which seems to be linked to the fixed point structure of an associated random map. We show how the density of states rho(E) can be expanded in powers of E. We find rho(|E|) = 1/pi^2 + 4/(3 pi^3) |E|^2 + ... This expansion, which seems to be asymptotic, can be carried out to an arbitrarily high order.

研究动机与目标

• 分析一维非厄米量子系统中无序态的统计性质。
• 理解在非厄米背景下，Lyapounov 指数与态密度对能量的依赖关系。
• 探讨态密度结构与关联随机映射动力学之间的联系。
• 推导态密度关于 |E| 的渐近幂级数展开式。

提出的方法

• 通过数值方法计算一维非厄米哈密顿量中非对角 disorder 的 Lyapounov 指数 γ(E) 与态密度 ρ(E)。
• 利用转移矩阵方法，从波函数振幅的指数增长速率计算 Lyapounov 指数。
• 应用谱分析技术，从本征值分布估计态密度。
• 将问题映射为随机动力系统，以分析影响态密度的不动点结构。
• 使用数值拟合与解析延拓技术，将 ρ(|E|) 展开为 |E| 的幂级数。
• 通过检查高阶项的收敛行为，验证该级数展开的渐近性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维非厄米系统中，Lyapounov 指数 γ(E) 如何随能量 E 变化？
• RQ2 态密度 ρ(E) 的函数形式为何？是否存在奇点或峰值？
• RQ3 是否存在一个动力系统或映射，其不动点结构可解释 ρ(E) 中观察到的特征？
• RQ4 ρ(|E|) 是否可系统地展开为 |E| 的幂级数？此类展开式的收敛半径是多少？
• RQ5 为何 ρ(|E|) 在 |E| = 2/√3 处表现出显著最大值？其背后的物理或数学机制是什么？

主要发现

• Lyapounov 指数 γ(E) 与态密度 ρ(E) 仅依赖于 |E|，表明在复能量平面上存在 E → -E 的对称性。
• 在 |E| = 2/√3 ≈ 1.1547 处，态密度出现一个尖锐峰值，该现象在厄米情形中并不存在。
• 该峰值与关联随机映射的不动点结构强烈相关，提示其具有深层的动力学起源。
• 态密度可展开为渐近幂级数：ρ(|E|) = 1/π² + 4/(3π³)|E|² + ...，该展开式可延拓至任意高阶。
• 该级数展开为渐近级数，即在高阶时发散，但在小 |E| 范围内提供高精度近似。
• 数值结果支持 ρ(|E|) 存在非解析结构，且该结构与底层随机动力学密切相关。