[论文解读] Lyapunov and Sylvester equations: A quadrature framework

Christian Bertram, Heike Faßbender|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2019

Matrix Theory and Algorithms参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的求积框架，通过将结构保持的Runge-Kutta方法应用于相关常微分方程（ODE）系统，用于求解大规模Lyapunov方程和Sylvester方程。通过利用对角隐式Runge-Kutta（DIRK）格式实现的低秩残差保持，该方法实现了与交替方向隐式（ADI）迭代的等价性，从而实现了高效的低秩逼近，并采用实化策略处理复数运算。

ABSTRACT

This paper introduces a novel framework for the solution of (large-scale) Lyapunov and Sylvester equations derived from numerical integration methods. Suitable systems of ordinary differential equations are introduced. Low-rank approximations of their solutions are produced by Runge-Kutta methods. Appropriate Runge-Kutta methods are identified following the idea of geometric numerical integration to preserve a geometric property, namely a low rank residual. For both types of equations we prove the equivalence of one particular instance of the resulting algorithm to the well known ADI iteration. As the general approach suggested here leads to complex valued computation even for real problems, we present a general realification approach based on similarity transformation.

研究动机与目标

• 开发一种新的数值框架，通过常微分方程（ODE）的数值积分求解大规模Lyapunov和Sylvester方程。
• 通过几何数值积分原理，在迭代求解过程中保持残差的低秩结构。
• 建立所提出的基于Runge-Kutta的算法与经典ADI迭代在Lyapunov方程和Sylvester方程上的等价性。
• 提出一种基于相似变换的实化技术，以处理实际问题中复数运算的实现。

提出的方法

• 将Lyapunov方程的解重新表述为时间依赖Gramian的积分，该积分可解释为一个ODE系统的解。
• 对ODE系统应用Runge-Kutta方法，以生成解的低秩逼近，其稳定性函数由Butcher表导出。
• 通过要求稳定性函数满足特定函数恒等式，约束方法在迭代过程中保持初始残差的低秩性质。
• 对于Sylvester方程，推导出类似的ODE系统，并应用相同的Runge-Kutta方法，得到一个低秩迭代格式。
• 该框架识别出DIRK方法可保持低秩残差，从而实现与ADI迭代的等价性。
• 引入一种基于相似变换的实化策略，将复数运算的Runge-Kutta迭代转换为实数算术，以适用于实数问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于ODE积分的求积框架，推导出Lyapunov和Sylvester方程的低秩迭代求解器？
• RQ2 哪一类Runge-Kutta方法能够在求解过程中保持残差的低秩结构？
• RQ3 所得到的算法是否与Lyapunov方程和Sylvester方程的著名ADI迭代等价？
• RQ4 如何将方法中产生的复数运算转换为实数算术以实现实际应用？
• RQ5 Runge-Kutta方法的稳定性函数与有理Krylov子空间框架之间存在何种联系？

主要发现

• 当使用DIRK方法时，所提出的基于Runge-Kutta的Lyapunov方程算法在数学上与ADI迭代等价。
• 该方法通过构造保持残差的低秩结构，确保了计算效率。
• 对于Sylvester方程，相同的框架产生与Sylvester方程ADI变体等价的算法，如算法4所示。
• Runge-Kutta方法的稳定性函数必须满足特定函数恒等式，才能保持低秩残差，这一条件界定了有效方法的类别。
• 通过相似变换实现的实化方法，使得复数运算方法可在实数问题中使用，而不会损失精度或效率。
• 该框架统一了从ODE积分导出ADI型方法的过程，将几何数值积分与有理Kry洛夫子空间及矩匹配方法联系起来。