[论文解读] Lyapunov Approach to Consensus Problems

Angelia Nedich, Ji Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2014

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 44被引用 5

一句话总结

本文针对一致性问题中的加权平均动力学，提出了一种基于李雅普诺夫的收敛性分析，建立了依赖于图结构的指数收敛速率，特别是根树中最长最短路径的特性。该工作通过引入伴随动力学和二次李雅普诺夫函数，扩展了先前结果，证明了在无需双随机权重的前提下，受限一致性问题的指数收敛性。

ABSTRACT

This paper investigates the weighted-averaging dynamic for unconstrained and constrained consensus problems. Through the use of a suitably defined adjoint dynamic, quadratic Lyapunov comparison functions are constructed to analyze the behavior of weighted-averaging dynamic. As a result, new convergence rate results are obtained that capture the graph structure in a novel way. In particular, the exponential convergence rate is established for unconstrained consensus with the exponent of the order of $1-O(1/(m\log_2m))$. Also, the exponential convergence rate is established for constrained consensus, which extends the existing results limited to the use of doubly stochastic weight matrices.

研究动机与目标

• 使用李雅普诺夫框架分析分布式一致性问题中加权平均动力学的收敛速率。
• 将现有收敛结果扩展至无需双随机权重矩阵的受限一致性问题。
• 将通信图的结构——特别是根树中最长最短路径——纳入收敛速率的上界分析。
• 在一般权重矩阵且具有根有向生成树的条件下，为无约束和受限一致性建立指数收敛性。
• 提出一种基于伴随动力学与绝对概率序列的新型李雅普诺夫比较函数构造方法，适用于非双随机情形。

提出的方法

• 基于一致性系统的伴随动力学构造一个二次李雅普诺夫比较函数。
• 利用先前关于随机图研究中提出的绝对概率序列概念，分析收敛行为。
• 应用霍夫曼界（Hoffman bound）以建立约束集的正则性，从而在多面体或内点条件下实现收敛速率分析。
• 提出一种基于投影的加权平均算法用于受限一致性，确保收敛至凸集交集中的共同值。
• 通过将李雅普诺夫函数的衰减速率与图的结构特性（如最长最短路径）关联，推导收敛速率。
• 采用李雅普诺夫函数与一致性集合距离之间的比较论证，利用约束集的统一正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一种捕捉图结构的李雅普诺夫方法，为无约束一致性建立指数收敛速率？
• RQ2 当权重矩阵非双随机时，如何分析受限一致性的收敛性？
• RQ3 存在根有向生成树在确保一般权重矩阵下收敛性方面起到何种作用？
• RQ4 收敛速率能否以通信图中最长最短路径为指标进行量化？
• RQ5 在何种约束集条件下，收敛所需的正则性条件成立？

主要发现

• 本文在特殊树状规则图上，为无约束一致性建立了指数收敛速率，其指数阶为 $1 - O(1/(m\log_2 m))$。
• 对于受限一致性，证明了在无需双随机权重条件下的指数收敛性，扩展了以往仅限于此类矩阵的研究结果。
• 收敛速率依赖于根树中最长最短路径，首次建立了图结构与收敛速度之间的新联系。
• 当约束集为多面体时，其具有统一正则性，从而确保了收敛速率分析所必需的正则性条件。
• 若约束集的交集具有非空内部，则正则性条件在局部成立，且常数依赖于内部球的半径。
• 该分析适用于在一段时间内保持根性的时变图，不必要求在每一时刻都满足根性，从而扩大了在真实网络中的适用范围。