[论文解读] Lyapunov characterization of uniform exponential stability for nonlinear infinite-dimensional systems

Ihab Haidar, Yacine Chitour+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 42被引用 2

一句话总结

本文通过将Datko引理由前向完备系统推广，建立了非线性无限维系统在外部扰动下一致指数稳定性的逆向Lyapunov定理。证明了一致指数稳定性等价于存在满足特定衰减条件的非强制或强制Lyapunov泛函，从而为分布时滞系统、采样数据控制及切换系统提供了严格的理论稳定性分析依据。

ABSTRACT

In this paper we deal with infinite-dimensional nonlinear forward complete dynamical systems which are subject to external disturbances. We first extend the well-known Datko lemma to the framework of the considered class of systems. Thanks to this generalization, we provide characterizations of the uniform (with respect to disturbances) local, semi-global, and global exponential stability, through the existence of coercive and non-coercive Lyapunov functionals. The importance of the obtained results is underlined through some applications concerning 1) exponential stability of nonlinear retarded systems with piecewise constant delays, 2) exponential stability preservation under sampling for semilinear control switching systems, and 3) the link between input-to-state stability and exponential stability of semilinear switching systems.

研究动机与目标

• 将经典Datko引理由有限维系统推广至具有平移不变扰动的非线性、前向完备、无限维动力系统。
• 利用强制与非强制Lyapunov泛函，刻画一致指数稳定性的局部、半全局与全局形式。
• 为具有时滞、采样数据控制及切换动态的系统提供稳定性分析的理论基础。
• 弥合半线性切换系统中输入-状态稳定与指数稳定之间的差距。
• 建立在轨迹具有统一增长估计的条件下，非强制Lyapunov泛函足以保证一致指数稳定性的条件。

提出的方法

• 将经典Datko引理由有限维系统推广至具有平移不变扰动的无限维、前向完备、非线性动力系统。
• 定义从状态空间 X → ℝ₊ 的Lyapunov泛函 V，其为正定且沿轨迹均匀衰减。
• 利用一维参数族Lyapunov泛函刻画一致半全局指数稳定性。
• 在解的统一增长条件下，建立一致指数稳定性与非强制Lyapunov泛函存在的等价性。
• 应用广义Datko引理，证明非强制泛函的衰减可推出一致指数稳定性。
• 利用Gronwall不等式与常数变易公式，估计采样数据与切换系统中轨迹偏差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，无限维非线性系统的统一指数稳定性等价于存在一个非强制Lyapunov泛函？
• RQ2 经典Datko引理能否推广至具有扰动的非线性、无限维、前向完备系统？
• RQ3 Lyapunov泛函如何用于在半线性切换系统中保持采样下的指数稳定性？
• RQ4 在半线性切换系统中，输入-状态稳定与指数稳定之间存在何种关系？
• RQ5 在统一增长界下，非强制Lyapunov泛函的存在是否可推出全局指数稳定性？

主要发现

• 一致半全局指数稳定性由一维参数族Lyapunov泛函的存在性刻画，每一泛函在有界集上均匀衰减，且这些有界集的并集覆盖整个状态空间。
• 在解具有统一增长估计的条件下，非强制Lyapunov泛函的存在性足以保证一致指数稳定性。
• 对于具有分段常数时滞的非线性分布时滞微分方程，一致全局指数稳定性等价于存在一个非强制Lyapunov泛函。
• 当采样周期足够小时，若系统存在合适的Lyapunov泛函，则半线性控制切换系统的指数稳定性在采样下得以保持。
• 当且仅当系统一致指数稳定时，存在强制Lyapunov泛函，该结果将先前结果推广至指数情形。
• 对于 p ∈ [1, ∞)，状态轨迹的 Lp-范数被输入的 Lp-范数的常数倍所控制，该常数依赖于Lyapunov泛函的Lipschitz常数与系统参数。