[论文解读] Lyapunov coefficients for Hopf bifurcations in systems with piecewise smooth nonlinearity

Miriam Steinherr Zazo, Jens D. M. Rademacher|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2020

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文推导了具有分段光滑非线性项（特别是 $ u_i|u_j| $ 形式）的非光滑动力系统中首个李雅普诺夫系数的显式公式，推广了经典的霍普夫分支理论。通过平均值理论建立了平面系统的规范型，并证明了在分支点处存在唯一的周期轨道分支，其中系数 $ \sigma\# $ 决定分支的超临界或亚临界性，即使在非光滑情况下也适用，可应用于船舶操纵和车轮摆振等模型。

ABSTRACT

Motivated by models that arise in controlled ship maneuvering, we analyze Hopf bifurcations in systems with piecewise smooth nonlinear part. In particular, we derive explicit formulas for the generalization of the first Lyapunov coefficient to this setting. This generically determines the direction of branching (super- versus sub-criticality), but in general this differs from any fixed smoothing of the vector field. We focus on nonsmooth nonlinearities of the form $u_i|u_j|$, but our results are formulated in broader generality for systems in any dimension with piecewise smooth nonlinear part. In addition, we discuss some codimension-one degeneracies and apply the results to a model of a shimmying wheel.

研究动机与目标

• 将经典首个李雅普诺夫系数推广至具有分段光滑非线性项（特别是 $ u_i|u_j| $ 形式）的系统，此类系统常见于机械与控制系统中。
• 在缺乏光滑性的情况下确定霍普夫分支的方向（超临界与亚临界），此时标准公式失效。
• 为具有利普希茨连续、分段光滑非线性项的平面与高维系统发展规范型理论。
• 分析一阶退化情形，包括 $ \sigma\# = 0 $ 的情况，并将结果扩展至具有额外非双曲模态的系统。
• 将理论应用于一个具体的摆振车轮模型，并通过数值延续验证结果。

提出的方法

• 构建一个具有线性部分 $ A(\mu)u $ 和分段光滑非线性项 $ G(u) $ 的一般 $ n $-维常微分方程系统，其中 $ G $ 为利普希茨连续且在切换面外 $ C^2 $ 光滑。
• 对周期边界值问题应用李雅普诺夫-施密特约化，推导出约化分支方程，称为“直接法”。
• 利用平均值理论，为满足 $ p_+ = -p_- = 1 $ 的平面系统推导出紧凑的规范型，得到 $ \sigma\# $ 和第二个李雅普诺夫系数 $ \sigma_2 $ 的显式表达式。
• 推导出基于系统参数和 $ [0, 2\pi] $ 上积分的首个李雅普诺夫系数 $ \sigma\# $ 的积分公式，通过三角对称性与泰勒展开实现显式计算。
• 考虑三个纯虚特征值的情形（一个零特征值，一对共轭复特征值），并证明：若某系数组合非零，则存在两个周期轨道分支；否则无周期轨道出现。
• 通过向量场泰勒展开导出的常微分方程，对系数 $ \gamma_{ij}, \delta_{ij} $ 进行详尽的符号计算，实现 $ \mu $ 临近分支点时的渐近展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将首个李雅普诺夫系数推广至具有分段光滑非线性项 $ u_i|u_j| $ 的系统，其中非线性项不可二次可微？
• RQ2 在标准光滑分支理论不适用的情况下，什么决定了此类非光滑系统中霍普夫分支的方向（超临界与亚临界）？
• RQ3 当 $ \sigma\# = 0 $ 时，光滑的二次与三次项如何与非光滑项相互作用，以决定分支的临界性？
• RQ4 当线性化部分具有三重纯虚特征值结构（一个零特征值，一对共轭复特征值）时，分支结构如何变化？这又如何影响分岔出的周期轨道数量？
• RQ5 能否为具有分段光滑非线性项的平面系统推导出一个规范型，使其能以显式、可计算的系数捕捉霍普夫分支附近的动力学行为？

主要发现

• 首个李雅普诺夫系数 $ \sigma\# $ 推导为 $ \sigma\# = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \chi_2(\phi) \, d\phi $，显式计算得 $ \int_0^{2\pi} \chi_2(\phi) \, d\phi = \frac{4}{3} \sigma\# $，其中 $ \chi_2 $ 综合了光滑与非光滑项。
• 对于满足 $ p_+ = -p_- = 1 $ 的平面系统，首个李雅普诺夫系数为 $ \sigma\# = \frac{1}{3} (a_{11} + b_{22}) + \frac{1}{6} (a_{21} + b_{12}) $，其中 $ a_{ij}, b_{ij} $ 来自非线性项 $ f, g $，且 $ \sigma\# $ 的符号决定分支方向。
• 当 $ \sigma\# = 0 $ 时，第二个李雅普诺夫系数 $ \sigma_2 $ 成为关键量，其表达式为 $ \sigma_2 = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \chi_3(\phi) \, d\phi - \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \chi_2(\phi) \Omega_1(\phi) \, d\phi $，其中 $ \Omega_1 $ 源于非光滑部分。
• 在三个纯虚特征值的情形（一个零特征值，一对共轭复特征值）下，若某系数组合非零，则系统分岔出两条周期轨道分支；否则不出现周期轨道。
• 通过平均值理论推导出平面情形的规范型，得到径向分量的紧凑表达式：$ \dot{u} = \mu u + \sigma\# u|u| $，其中 $ \sigma\# $ 可由系统参数显式计算。
• 对模型 (1.5)–(1.6) 的数值延续验证了理论预测：$ \sigma\# > 0 $ 时产生亚临界分支（不稳定周期轨道），$ \sigma\# < 0 $ 时产生超临界分支（稳定周期轨道），与图 2 中的理论分支图一致。