[论文解读] Lyapunov exponent, universality and phase transition for products of random matrices

Dang-Zheng Liu, Dong Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 57被引用 10

一句话总结

该论文研究了当矩阵大小 $N$ 和矩阵数量 $M$ 同时趋于无穷大且满足 $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$ 时，独立同分布复高斯随机矩阵乘积中奇异值的统计行为。它揭示了局部统计中的相变：从 $\gamma = 0$ 时的 GUE Tracy-Widom 波动，经由有限 $\gamma$ 时的新临界核，到 $\gamma = \infty$ 时的高斯波动，最大奇异值在 GUE 与高斯 Tracy-Widom 分布之间发生转变。

ABSTRACT

Products of $M$ i.i.d. random matrices of size $N imes N$ are related to classical limit theorems in probability theory ($N=1$ and large $M$), to Lyapunov exponents in dynamical systems (finite $N$ and large $M$), and to universality in random matrix theory (finite $M$ and large $N$). Under the two different limits of $M o \infty$ and $N o \infty$, the local singular value statistics display Gaussian and random matrix theory universality, respectively. However, it is unclear what happens if both $M$ and $N$ go to infinity. This problem, proposed by Akemann, Burda, Kieburg \cite{Akemann-Burda-Kieburg14} and Deift \cite{Deift17}, lies at the heart of understanding both kinds of universal limits. In the case of complex Gaussian random matrices, we prove that there exists a crossover phenomenon as the relative ratio of $M$ and $N$ changes from $0$ to $\infty$: sine and Airy kernels from the Gaussian Unitary Ensemble (GUE) when $M/N o 0$, Gaussian fluctuation when $M/N o \infty$, and new critical phenomena when $M/N o γ\in (0,\infty)$. Accordingly, we further prove that the largest singular value undergoes a phase transition between the Gaussian and GUE Tracy-Widom distributions.

研究动机与目标

• 解决 i.i.d. 随机矩阵乘积中联合极限 $M,N \to \infty$ 且 $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$ 的开放问题。
• 理解两种普遍性行为之间的交叉：李雅普诺夫指数统计（大 $M$，固定 $N$）与随机矩阵理论（大 $N$，固定 $M$）之间的过渡。
• 识别有限 $\gamma = M/N$ 下的临界标度 regime，并表征其关联的普遍核与分布。
• 证明最大奇异值分布从 GUE Tracy-Widom 到高斯 Tracy-Widom 的相变，随着 $\gamma$ 增大而发生。

提出的方法

• 使用正交多项式技术和弗雷德霍姆行列式表示法，对复高斯矩阵乘积的奇异值相关核进行解析研究。
• 在双标度极限 $N,M \to \infty$ 且 $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$ 下，利用最陡下降法与积分表示对核进行渐近分析。
• 推导出一个新的临界核 $K_{\text{crit}}(\xi,\eta;\gamma)$，该核在软边标度极限下插值于正弦核与艾里核之间。
• 利用伽马函数与 digamma 函数的展开式控制弗雷德霍姆行列式中的对数项，并推导出临界标度。
• 将最陡下降法应用于相关核的双重围线积分表示，表明其在 $\mathcal{O}(N^{1/4})$ 区域内集中。
• 在联合极限下建立相关核收敛至临界核 $K_{\text{crit}}$ 的结果，误差界为 $\mathcal{O}(N^{-1/4})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $M,N \to \infty$ 且 $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$ 的联合极限下，i.i.d. 复高斯矩阵乘积中会涌现出何种普遍统计行为？
• RQ2 随着 $\gamma$ 从 0 增加到 $\infty$，局部奇异值统计如何从 GUE 转变为高斯普遍性？
• RQ3 有限 $\gamma$ 下的临界统计的本质是什么？它能否由一个新的普遍核来描述？
• RQ4 最大奇异值是否在 GUE 与高斯 Tracy-Widom 分布之间经历相变？
• RQ5 临界分布函数 $F_{\text{crit}}(x;\gamma)$ 能否用 Painlev\'e 型方程表示？

主要发现

• 当 $M/N \to 0$ 时，局部奇异值统计收敛至高斯酉系族（GUE）的正弦核，表明存在 GUE 普遍性。
• 当 $M/N \to \infty$ 时，局部统计收敛至高斯波动，对应经典中心极限定理的 regime。
• 当 $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$ 时，一个新的临界核 $K_{\text{crit}}(\xi,\eta;\gamma)$ 出现，该核在正弦核与艾里核之间插值，描述了一种类普遍性。
• 最大奇异值经历相变：其分布随着 $\gamma$ 从 0 增加到 $\infty$，在 GUE Tracy-Widom 与高斯 Tracy-Widom 分布之间发生转变。
• 临界核通过相关核的双重围线积分表示的渐近分析推导得出，收敛性在 $\mathcal{O}(N^{-1/4})$ 速率下得到证明。
• 临界分布函数 $F_{\text{crit}}(x;\gamma)$ 被识别为临界核的弗雷德霍姆行列式，其 Painlev\'e 型表达式仍为开放问题。