[论文解读] Lyapunov exponents and eigenvalues of products of random matrices

Nanda Kishore Reddy|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用 4

一句话总结

该论文证明，对于具有有界密度和有限矩的独立同分布实随机矩阵，其乘积的特征值绝对值的渐近增长速率与奇异值相同，且波动衰减快于任意多项式速率。关键结果为：对所有 r > 0 和 1 ≤ p ≤ d，有 lim_{n→∞} (1/n^r) log(|λ_p(n)| / σ_p(n)) = 0 几乎必然成立，表明在较弱的矩和支撑条件下，长期来看特征值与奇异值的 Lyapunov 指数一致。

ABSTRACT

Let $X_1,X_2, \ldots $ be a sequence of $i.i.d$ real (complex) $d imes d $ invertible random matrices with common distribution $μ$ and $σ_1(n), σ_2(n), \ldots , σ_d(n)$ be the singular values, $λ_1(n), λ_2(n), \ldots , λ_d(n)$ be the eigenvalues of $X_nX_{n-1}\cdots X_1$ in the decreasing order of their absolute values for every $n$. It is known that if $\mathbb{E}(\log^{+}\|X_1\|)< \infty$, then with probability one for all $1 \leq p \leq d$, $$ \lim_{n o \infty} \frac{1}{n}\log σ_p(n)=γ_p, $$ where ${γ_1,γ_2 \ldots γ_d}$ are the Lyapunov exponents associated with $μ$. In this paper we show that under certain support and moment conditions on $μ$, the absolute values of eigenvalues also exhibit the same asymptotic behaviour. In fact, a stronger asymptotic relation holds between the singular values and the eigenvalues $i.e.$ for any $r>0$ with probability one for all $1 \leq p \leq d$, $$ \lim_{n o \infty} \frac{1}{n^r}\log \left(\frac{|λ_p(n)|}{σ_p(n)} ight)= 0, $$ which implies that the fluctuations of the eigenvalues have the same asymptotic distribution as that of the corresponding singular values. Isotropic random matrices and also random matrices with $i.i.d$ real elements, which have some finite moment and bounded density whose support contains an open set, are shown to satisfy the moment and support conditions under which the above relations hold.

研究动机与目标

• 建立独立同分布随机矩阵乘积中特征值与奇异值增长速率的渐近等价性。
• 确定在何种最小矩和支撑条件下，特征值 Lyapunov 指数与奇异值指数相等。
• 将先前针对 Ginibre 矩阵和各向同性矩阵的结果推广至具有有界密度和有限矩的更广泛独立同分布矩阵系综。
• 提供一个适用于实数和复数随机矩阵的一般性证明框架，基于外代数与谱理论。

提出的方法

• 利用矩阵外幂的 Lyapunov 指数理论，刻画奇异值的渐近增长。
• 应用 Fekete 的次可加引理及随机矩阵理论结果（来自 [3]），建立归一化对数范数的几乎必然收敛性。
• 运用关于乘积矩阵奇异向量集中性的关键引理，将特征值与奇异值关联起来。
• 通过在开区间内取值的可逆矩阵构造支撑条件，以确保相关随机矩阵乘积的 p-强不可约性和 p-压缩性。
• 利用 ℓ(Y₁) = max(log⁺‖Y₁‖, log⁺‖Y₁⁻¹‖) 的矩生成函数界，验证定理 22 适用性的指数矩条件。
• 采用扰动论证，证明行列式为 1 且接近特定可逆矩阵 M₀ 的矩阵集合位于测度 μ 的支撑中，从而确保所需的不可约性和压缩性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般矩和支撑条件下，独立同分布随机矩阵乘积的特征值绝对值是否与奇异值以相同速率增长？
• RQ2 对于具有有界密度和有限矩的独立同分布矩阵系综，是否可证明特征值与奇异值 Lyapunov 指数的渐近等价性，而不仅限于 Ginibre 或各向同性矩阵等特例？
• RQ3 矩阵分布的何种矩和支撑条件可确保当 n → ∞ 时，|λ_p(n)| / σ_p(n) 的对数波动为次多项式？
• RQ4 在这些条件下，更强的渐近关系 lim_{n→∞} (1/n^r) log(|λ_p(n)| / σ_p(n)) = 0 是否对所有 r > 0 几乎必然成立？
• RQ5 该理论框架是否可扩展至复随机矩阵，且保持相同理论结构？

主要发现

• 对于具有独立同分布实数条目、有界密度和有限矩的 d×d 独立同分布随机矩阵，特征值绝对值 |λ_p(n)| 与奇异值 σ_p(n) 满足：对所有 r > 0 和 1 ≤ p ≤ d，有 lim_{n→∞} (1/n^r) log(|λ_p(n)| / σ_p(n)) = 0 几乎必然成立。
• 这意味着特征值 Lyapunov 指数 γ_p 与奇异值 Lyapunov 指数 γ_p 一致，因为相对误差在 n 上衰减快于任意多项式。
• 当矩阵条目分布具有有界密度且存在 τ > 0 的有限矩时，结论成立，确保 sup_a E|ξ - a|^{-τ} < ∞ 对 τ < 1 成立。
• 矩阵分布的支撑包含一个可逆矩阵的开集，从而保证相关随机乘积的 p-强不可约性和 p-压缩性，这是 Lyapunov 指数定理的关键条件。
• 当条目具有有限矩和有界密度时，对足够小的 τ > 0，有 E[e^{τℓ(Y₁)}] < ∞，满足定理 22 的指数矩条件。
• 该框架可推广至复矩阵，因为 [3] 中的关键结论可迁移，且主结论在复情形下同样成立。