[论文解读] Lyapunov exponents and rigidity of Anosov automorphisms and skew products

Radu Saghin, Jiagang Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 54被引用 11

一句话总结

本文通过证明体积保持的 $ C^1 $-小扰动若具有相同的李雅普诺夫指数，则与原系统光滑共轭，建立了线性阿诺索夫自同构及阿诺索夫微分同胚上的斜积系统的局部刚性。关键结果为：在不可约性与具有不同绝对值的单重实特征值条件下，仅凭李雅普诺夫指数即可保证光滑共轭，将刚性结果从周期数据推广至更一般情形。

ABSTRACT

In this paper we obtain local rigidity results for linear Anosov diffeomorphisms in terms of Lyapunov exponents. More specifically, we show that given an irreducible linear hyperbolic automorphism $L$ with simple real eigenvalues with distinct absolute values, any small perturbation preserving the volume and with the same Lyapunov exponents is smoothly conjugate to $L$. We also obtain rigidity results for skew products over Anosov diffeomorphisms. Given a volume preserving partially hyperbolic skew product diffeomorphism $f_0$ over an Anosov automorphism of the 2-torus, we show that for any volume preserving perturbation $f$ of $f_0$ with the same average stable and unstable Lyapunov exponents, the center foliation is smooth.

研究动机与目标

• 确定李雅普诺夫指数是否足以在周期数据之外，对阿诺索夫微分同胚实现光滑共轭。
• 将局部刚性结果从周期数据推广至高维阿诺索夫系统中的李雅普诺夫指数。
• 研究体积保持的阿诺索夫映射上斜积系统的扰动，若李雅普诺夫指数匹配，则其中心叶状结构是否为光滑的。
• 探讨李雅普诺夫指数在何种条件下可决定不变叶状结构的光滑结构。
• 为将刚性结果推广至源自阿诺索夫的系统及高维斜积系统提供一个框架。

提出的方法

• 将李雅普诺夫指数相等作为充分条件，用于不可约线性阿诺索夫自同构（具有单重实特征值且绝对值互异）的光滑共轭。
• 应用不变性原理与朱尔内的正则性定理，证明不稳定与稳定叶状结构上横截映射的 $ C^{1+ε} $ 正则性。
• 利用叶上横截映射的统一 $ C^1 $-有界性及投影技巧，证明共轭映射为统一的 $ C^{1+ε} $。
• 利用 $ C^1 $-邻近扰动在保持李雅普诺夫指数与体积条件下，中心叶状结构为 $ C^{1+ε} $ 的事实，借助横截映射正则性的统一性。
• 对李雅普诺夫旗采用归纳论证，并利用叶状结构的极小性排除非平凡横截畸变。
• 依赖于万有覆叠的结构及线性映射的作用，通过反证法证明非平凡横截会导致矛盾，从而证明共轭成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于线性阿诺索夫自同构的 $ C^1 $-小体积保持扰动，仅凭李雅普诺夫指数是否足以确定光滑共轭？
• RQ2 在斜积系统中，李雅普诺夫指数相等在何种条件下可推出中心叶状结构的 $ C^{1+ε} $ 正则性？
• RQ3 该光滑共轭结果是否可推广至中心叶状结构非一致膨胀的源自阿诺索夫映射的情形？
• RQ4 该刚性结果是否可推广至具有单重实特征值且绝对值互异的高维阿诺索夫基底映射？
• RQ5 李雅普诺夫指数与体积的保持是否意味着扰动系统与基底阿诺索夫映射的真实斜积系统光滑共轭？

主要发现

• 对于具有单重实特征值且绝对值互异的不可约线性阿诺索夫自同构 $ L $，任意具有相同李雅普诺夫指数的 $ C^1 $-小体积保持扰动均与 $ L $ 光滑共轭。
• 若扰动系统在阿诺索夫自同构上为体积保持的 $ C^1 $-小扰动，且其平均稳定与不稳定李雅普诺夫指数与基底映射一致，则其中心叶状结构为 $ C^{1+ε} $。
• 扰动系统与线性模型之间的共轭为统一的 $ C^{1+ε} $，其证明基于将朱尔内正则性定理应用于横截映射。
• 扰动系统不稳定叶状结构在基底线性模型上的投影为叶上统一的 $ C^{1+ε} $ 微分同胚，从而保证了共轭的正则性。
• 证明依赖于横截畸变的反证法：若存在非平凡横截，则与线性映射 $ L $ 的不变性矛盾，从而推出横截必须平凡，故共轭为光滑。
• 在相同谱条件与体积保持下，结果可推广至高维环面上的斜积系统，表明存在基于李雅普诺夫指数的刚性理论的一般框架。