[论文解读] Lyapunov exponents and transport in Self-Organized Criticality

Bruno Cessac, Ph. Blanchard+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2000

Theoretical and Computational Physics被引用 1

一句话总结

本文研究张氏自组织临界性模型中的李雅普诺夫指数，将谱中的慢模式与晶格中的能量输运联系起来。通过边界处的能量通量推导出首个负李雅普诺夫指数的界，并将输运模式解释为基于活跃位点密度定义的度量空间上的扩散过程，有限尺寸标度法则将谱与临界级联事件特性联系起来。

ABSTRACT

We discuss the role played by the Lyapunov exponents in the dynamics of the Zhang’s model of Self-Organized Criticality. We show that a wide part in the spectrum (slowest modes) is associated to energy transport in the lattice. We give in particular bounds on the first negative Lyapunov exponents in terms of the energy flux dissipated at the boundaries per unit time. We then establish an explicit formula for the transport modes, that appear as diffusion modes in a landscape where the metric is given by the density of active sites. We use a finite size scaling ansatz for the Lyapunov spectrum and relate the scaling exponent to the scaling of quantities like avalanche size, duration, density of active site, etc...

研究动机与目标

• 理解李雅普诺夫指数在自组织临界系统中的动力学作用，特别是张氏模型中的作用。
• 将李雅普诺夫谱中最慢的模式与晶格中的能量输运机制联系起来。
• 基于系统边界处耗散的能量通量，建立首个负李雅普诺夫指数的定量界。
• 将输运模式解释为由活跃位点密度定义的度量空间上的扩散过程。
• 将李雅普诺夫谱的有限尺寸标度与级联事件的临界标度律联系起来。

提出的方法

• 分析张氏SOC模型的李雅普诺夫谱，以分离与能量输运相关的慢模式。
• 基于系统边界处的时间平均能量通量，推导首个负李雅普诺夫指数的界。
• 利用局部活跃位点密度定义晶格上的度量，将输运模式解释为扩散过程。
• 对李雅普诺夫谱应用有限尺寸标度假设，以将其标度假数与临界可观测量关联。
• 利用标度假设，将谱的行为与级联大小、持续时间及活跃位点密度的标度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 张氏模型中的李雅普诺夫指数如何反映能量输运动力学？
• RQ2 最慢的李雅普诺夫模式与边界处能量通量之间存在何种关系？
• RQ3 系统中的输运模式如何被解释为基于位点密度度量空间上的扩散过程？
• RQ4 决定李雅普诺夫谱有限尺寸行为的标度假数是什么？它如何与临界级联统计相关联？
• RQ5 李雅普诺夫谱的标度能否与级联大小和活跃位点密度等可观测量联系起来？

主要发现

• 李雅普诺夫谱中最慢的模式在张氏模型中与晶格中的能量输运直接相关。
• 基于单位时间内在边界处耗散的能量通量，建立了首个负李雅普诺夫指数的界。
• 输运模式表现为基于活跃位点局部密度定义的黎曼度量空间上的扩散过程。
• 对李雅普诺夫谱采用的有限尺寸标度假设，将其标度假数与级联大小、持续时间及活跃位点密度的标度联系起来。
• 李雅普诺夫谱的标度行为反映了传统SOC可观测量中观察到的相同临界指数。