[论文解读] Lyapunov Exponents of Brownian Motion: Decay Rates for Scaled Poissonian Potentials and Bounds

Johannes Rueß|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文研究了在趋于零的缩放泊松势场中，布朗运动的淬火与 annealed 李雅普诺夫指数的衰减速率。当强度与势场宽度的乘积按 $D/n$ 缩放时，证明了两种指数均以 $cn^{-1/2}$ 的速率衰减，其中常数 $c$ 显式给出，并证明了在平均势场下，淬火指数上界不超过 annealed 指数。

ABSTRACT

We investigate Lyapunov exponents of Brownian motion in a nonnegative Poissonian potential $V$. The Lyapunov exponent depends on the potential $V$ and our interest lies in the decay rate of the Lyapunov exponent if the potential $V$ tends to zero. In our model the random potential $V$ is generated by locating at each point of a Poisson point process with intensity $ν$ a bounded compactly supported nonnegative function $W$. We show that for sequences of potentials $V_n$ for which $ν_n \|W_n\|_1 \sim D/n$ for some constant $D > 0$ ($n o \infty$), the decay rates to zero of the quenched and annealed Lyapunov exponents coincide and equal $c n^{-1/2}$ where the constant $c$ is computed explicitly. Further we are able to estimate the quenched Lyapunov exponent norm from above by the corresponding norm for the averaged potential.

研究动机与目标

• 分析当泊松势场趋于零时，淬火与 annealed 李雅普诺夫指数的渐近行为。
• 在 $\nu_n\|W_n\|_1 \sim D/n$ 的缩放条件下，确定这些指数的精确衰减速率。
• 建立淬火与 annealed 李雅普诺夫指数之间的比较关系，证明在平均势场下，淬火范数不超过 annealed 范数。
• 将离散随机游动的结果推广至连续布朗运动在随机势场中的情形，改进了先前关于缩放极限的研究。

提出的方法

• 通过生存概率的对数渐近性，利用格林函数 $g_\eta(x,y,\omega)$ 及其 $L^1$-平均版本 $\mathbb{E}[g_\eta(0,ny,\omega)]$ 来定义淬火与 annealed 李雅普诺夫指数。
• 淬火李雅普诺夫指数 $\alpha_{\eta+V}(y)$ 定义为极限 $\lim_{n\to\infty} -\frac{1}{n}\ln g_\eta(0,ny,\omega)$，而 annealed 指数 $\beta_{\eta+V}(y)$ 通过 $\lim_{n\to\infty} -\frac{1}{n}\ln \mathbb{E}[g_\eta(0,ny,\omega)]$ 定义。
• 关键的技术工具是 Combes-Thomas 估计，用于控制格林函数的衰减，并推导出李雅普诺夫指数的界。
• 证明依赖于大偏差估计与布朗运动的路径分析，特别是通过局部时间过程的缩放，对球内大局部时间的概率进行控制。
• 作者利用旋转对称性与耦合论证，将问题约化为一维布朗运动，从而实现对占用时间的显式尾部估计。
• 通过分析生存概率 $e(ny,\eta+V)$ 与指数矩界，推导出 $n^{-1/2}$ 的缩放速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缩放 $\nu_n\|W_n\|_1 \sim D/n$ 下，当泊松势场趋于零时，淬火李雅普诺夫指数的衰减速率是什么？
• RQ2 在势场趋于零的极限下，淬火与 annealed 李雅普诺夫指数是否以相同速率衰减？
• RQ3 能否证明淬火李雅普诺夫指数被对应于平均势场的 annealed 指数上界控制？
• RQ4 格林函数的渐近行为如何与被吸收环境中的布朗运动的生存概率相关联？

主要发现

• 对于满足 $\nu_n\|W_n\|_1 \sim D/n$ 的势场序列，淬火与 annealed 李雅普诺夫指数均以 $cn^{-1/2}$ 的速率衰减，其中常数 $c = \sqrt{2D}$。
• 在指定的缩放条件下，淬火与 annealed 李雅普诺夫指数的衰减速率一致。
• 在平均势场下，淬火李雅普诺夫指数范数被对应 annealed 指数范数上界控制，即 $\alpha_{\eta+V}(y) \leq \beta_{\eta+V}(y)$。
• 在半径为 $\xi$ 的球内，大局部时间的概率随 $n \to \infty$ 趋于零，这对证明衰减速率至关重要。
• 李雅普诺夫指数的收敛性几乎必然成立，并且在 $L^1(\mathbb{P})$ 中成立，确保了渐近结果的稳健性。
• 该结果将先前关于随机游动的工作推广至连续布朗运动，提供了在缩放极限下精确的 $n^{-1/2}$ 衰减速率。