[论文解读] Lyapunov exponents of probability distributions with non-compact support

Adriana Cristina Sánchez Chavarría, Marcelo Viana|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文研究了在 $GL(2,\mathbb{R})$ 中具有非紧支集的概率分布的李雅普诺夫指数的连续性性质。结果表明，上方向李雅普诺夫指数在 Wasserstein 拓扑下是上半连续的，但在弱* 拓扑下不是；并且即使在 Wasserstein 拓扑下连续性也可能不成立，通过一种受控增长速率的矩阵积扰动构造了反例。

ABSTRACT

We prove that the Lyapunov exponents, cosidered as functions of measures with non compact support, are semicontinuous with respect to the Wasserstein topology but not with respect to the weak* topology. Moreover, we prove that they are not continuous in the Wasserstein topology.

研究动机与目标

• 将李雅普诺夫指数连续性的理解从紧支集分布推广至 $GL(2,\mathbb{R})$ 中的非紧支集分布。
• 分析在非紧支集下李雅普诺夫指数的行为，特别是其连续性性质。
• 比较李雅普诺夫指数在 Wasserstein 和弱* 拓扑下的收敛行为。
• 构造显式反例，证明李雅普诺夫指数在 Wasserstein 拓扑下的不连续性。

提出的方法

• 使用具有有限一阶矩的概率测度上的 Wasserstein 拓扑来分析分布的收敛性。
• 应用 Furstenberg-Kesten 定理，将李雅普诺夫指数定义为矩阵范数增长速率的几乎必然极限。
• 通过具有受控 $L^1$-距离的对角耦合，构造一个测度序列 $q_n$，使其在 Wasserstein 距离下收敛于 $q$。
• 利用剪切矩阵对矩阵积进行扰动，构造一个系统，其中尽管 Wasserstein 距离很小，但上方向李雅普诺夫指数仍下降至零。
• 采用 Bocker-Viana 的首次返回映射论证，证明对所有 $n$ 有 $\lambda_+(B, q_n) = 0$，而 $\lambda_+(B, q) > 0$。
• 通过分析在不变子空间 $H_x = \mathbb{R}(1,0)$ 和 $V_x = \mathbb{R}(0,1)$ 上的动力系统，验证了柯西算子的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $GL(2,\mathbb{R})$ 中，对于非紧支集分布，上方向李雅普诺夫指数在 Wasserstein 拓扑下是否是上半连续的？
• RQ2 在非紧情况下，弱* 拓扑是否保持李雅普诺夫指数的半连续性？
• RQ3 即使在 Wasserstein 拓扑下，当支集非紧时，李雅普诺夫指数是否仍可能不连续？
• RQ4 在 Wasserstein 收敛下，导致李雅普诺夫指数不连续的矩阵积的结构条件是什么？
• RQ5 对一个测度的小 Wasserstein 扰动是否可能显著改变李雅普诺夫指数？

主要发现

• 上方向李雅普诺夫指数 $\lambda_+(p)$ 在 Wasserstein 拓扑下是上半连续的。
• 下方向李雅普诺夫指数 $\lambda_-(p)$ 在 Wasserstein 拓扑下是下半连续的。
• 李雅普诺夫指数在 Wasserstein 拓扑下不连续，这一点通过构造的反例得以证明。
• 该反例涉及一个测度序列 $q_n$ 在 Wasserstein 距离下收敛于 $q$，但对所有 $n$ 有 $\lambda_+(B, q_n) = 0$，而 $\lambda_+(B, q) = 2p_3\log 2 > 0$。
• 不连续性源于对矩阵积的扰动，该扰动在 Wasserstein 度量下保持了 $L^1$-距离，但改变了矩阵范数的渐近增长速率。
• 该构造依赖于对角耦合，满足 $W(q_n, q) \leq 2n^{-l}$，其中 $l = \min\{\gamma, 1-\gamma\} > 0$，从而确保在 Wasserstein 距离下的收敛性。