[论文解读] Lyapunov exponents, shape theorems and large deviations for the random walk in random potential

Jean Christophe Mourrat|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用 23

一句话总结

本文在 $\mathbb{Z}^d$ ($d \geq 2$) 上的 i.i.d. 随机势场中，建立了淬灭 Lyapunov 指数和形状定理存在的最优条件。证明了当 $\mathbb{E}[Z(0)] < \infty$ 时，点到点指数几乎必然收敛，其中 $Z(0)$ 是邻居中最小势能；并表明形状定理成立当且仅当有限势能位点集合发生渗滤。通过基于 [CD81] 的重正则化与近似策略，结果可推广至大偏差原理和首达通过渗滤。

ABSTRACT

We consider the simple random walk on Z^d evolving in a potential of independent and identically distributed random variables taking values in [0, + \\infty]. We give optimal conditions for the existence of the quenched point-to-point Lyapunov exponent, and for different versions of a shape theorem. The method of proof applies as well to first-passage percolation, and builds up on an approach of Cox and Durrett (1981). The weakest form of shape theorem holds whenever the set of sites with finite potential percolates. Under this condition, we then show the existence of the quenched point-to-hyperplane Lyapunov exponent, and give a large deviation principle for the walk under the quenched weighted measure.

研究动机与目标

• 确定淬灭点到点 Lyapunov 指数几乎必然存在的最弱矩条件与渗滤条件。
• 建立淬灭设定下不同版本形状定理成立的必要与充分条件。
• 在淬灭加权测度下，推导随机游动的大偏差原理。
• 通过将方法适配至基于位点的通过时间，将结果推广至首达通过渗滤。
• 以势场景观导出的极限范数形式，刻画随机游动的渐近行为。

提出的方法

• 使用重正则化构造，定义旅行代价 $a(x,y)$ 的离散近似 $\hat{a}(x,y)$，其衡量从某位点邻域边界到另一位置的最小代价。
• 对近似代价函数 $\hat{a}(x,y)$ 应用次可加遍历定理，在可积条件下建立 $\frac{1}{n}a(0,nx)$ 的收敛性。
• 引入第二个近似 $\tilde{a}(x,y)$ 以处理 $\mathbb{E}[V(0)] = \infty$ 的情形，依赖于存在一个具有有限势能的大连通分量 $\mathbf{C}_\infty$。
• 采用轮廓型论证与渗滤估计，控制稀有高势能位点对全局路径代价的影响。
• 通过分析对数矩生成函数并利用涉及对偶范数 $\alpha_\lambda$ 的变分公式，推导大偏差原理。
• 通过将 $a(x,y)$ 重新定义为路径上势能值之和的下确界，将方法适配至首达通过渗滤，在零温极限下恢复类似结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种最小条件下，淬灭点到点 Lyapunov 指数 $\frac{1}{n}a(0,nx)$ 几乎必然收敛？
• RQ2 随机势场中随机游动的形状定理在何时成立？有限势能位点的渗滤起何作用？
• RQ3 淬灭测度下的精确大偏差率函数为何？其与 Lyapunov 指数对偶范数有何关联？
• RQ4 结果如何推广至基于位点通过时间的首达通过渗滤？
• RQ5 Lyapunov 指数能否扩展为 $\mathbb{R}^d$ 上的范数？其在何种条件下消失？

主要发现

• 淬灭点到点 Lyapunov 指数 $\frac{1}{n}a(0,nx)$ 几乎必然收敛当且仅当 $\mathbb{E}[Z(0)] < \infty$，其中 $Z(0) = \min_{y \sim 0} V(y)$。
• 该指数在 $L^1$ 中收敛当且仅当 $\mathbb{E}[V(0)] < \infty$；在概率中收敛当且仅当 $V(0) < \infty$ 几乎必然。
• 当 $\mathbb{P}[V(0) < \infty] > p_c$（站点渗滤阈值）时，极限 $\alpha(x)$ 是 $\mathbb{R}^d$ 上的范数。
• 形状定理在几乎必然意义下成立当且仅当有限势能位点集合发生渗滤，即 $\mathbb{P}[V(0) < \infty] > p_c$。
• 在相同的渗滤条件下，淬灭点到超平面 Lyapunov 指数存在，且等于 $\alpha(x)$。
• 在淬灭加权测度下，大偏差原理成立，其率函数 $I(x)$ 由涉及对偶范数 $\alpha_\lambda$ 的变分公式给出。