[论文解读] Lyapunov `Non-typical' Points of Matrix Cocycles and Topological Entropy

Xueting Tian|arXiv (Cornell University)|May 17, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 9

一句话总结

该论文证明了在拓扑混合的双曲系统上，对于 Hölder 连续的矩阵倍角系统，要么所有遍历测度具有相同的最大 Lyapunov 指数，要么 Lyapunov 不规则（非典型）点集具有全拓扑熵、全填充拓扑熵，且其 Bowen Hausdorff 一维熵的下界由非 Lyapunov 最小化遍历测度的度量熵的上确界决定。

ABSTRACT

It follows from Oseledec Multiplicative Ergodic Theorem (or Kingman's Sub-additional Ergodic Theorem) that the set of `non-typical' points for which the Oseledec averages of a given continuous cocycle diverge has zero measure with respect to any invariant probability measure. In strong contrast, for any H$\ddot{o}$der continuous cocycles over hyperbolic systems, in this article we show that either all ergodic measures have same Maximal Lyapunov exponents or the set of Lyapunov `non-typical' points have full topological entropy and packing topological entropy. Moreover, we give an estimate of Bowen Hausdorff entropy from below.

研究动机与目标

• 研究在双曲系统上的矩阵倍角系统背景下，Lyapunov 不规则点（即最大 Lyapunov 指数几乎处处不存在的点）的动力复杂性。
• 确定此类非典型点是否在任意不变概率测度下测度为零，却表现出高拓扑熵。
• 建立一个二分法：要么所有遍历测度具有相同的最大 Lyapunov 指数，要么不规则集在多种熵意义下具有全熵。
• 利用非最小化遍历测度的度量熵，为不规则集的 Bowen Hausdorff 一维熵提供下界估计。
• 将关于 Birkhoff 平均和遍历优化的结果推广至维度 m ≥ 2 的非共形设置下的矩阵倍角系统。

提出的方法

• 利用 Oseledec 乘法遍历定理和 Kingman 的次可加遍历定理，证明不变测度下 Lyapunov 指数的几乎必然存在性。
• 在拓扑混合的双曲系统中应用规范性性质和指数追踪性，构造具有受控增长率的轨道的稠密集。
• 通过不变测度的熵结构及周期轨道上支持的不变测度，运用熵稠密性论证。
• 利用符号动力系统和柱集构造一个紧致的不规则点集 F，确保在 Bowen 度量下球测度具有统一的下界。
• 通过利用构造在一系列时间序列上的统一性，估计拓扑熵，方法为考察球测度的 limsup 和 liminf 随半径增大时的变化。
• 应用熵对偶性原理，将不规则集的拓扑熵与非 Lyapunov 最小化遍历测度的度量熵的上确界联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，双曲系统中 Lyapunov 不规则点集具有全拓扑熵？
• RQ2 能否基于非最小化遍历测度的度量熵，为 Lyapunov 不规则集的 Bowen Hausdorff 一维熵建立下界？
• RQ3 在遍历测度之间，最大 Lyapunov 指数的行为是否存在二分法：要么全部相等，要么不规则集具有全熵？
• RQ4 Hölder 连续矩阵倍角系统的结构如何影响非共形动力系统中非典型点的熵？
• RQ5 不规则集的熵在多大程度上反映了系统不变测度的底层度量熵结构？

主要发现

• 对于任意在拓扑混合的局部极大双曲集上定义的 Hölder 连续矩阵倍角系统，要么所有遍历测度具有相同的最大 Lyapunov 指数，要么 Lyapunov 不规则点集具有全拓扑熵。
• Lyapunov 不规则点集具有全填充拓扑熵，意味着其在所有尺度下均表现出拓扑复杂性。
• 不规则集的 Bowen Hausdorff 一维熵的下界由所有非 Lyapunov 最小化遍历测度的度量熵的上确界决定。
• 若系统的最大熵测度不是 Lyapunov 最小化的，则不规则集的 Bowen Hausdorff 一维熵等于系统的全拓扑熵。
• 该结果在指数追踪性假设下成立，而该假设对 $C^1$ 微分同胚在双曲集上的情形成立。
• 证明依赖于通过符号动力系统和不变测度的熵稠密性性质，构造一个具有统一熵估计的紧致不规则点集。