[论文解读] Lyapunov-Razumikhin techniques for state-dependent delay differential equations

A. R. Humphries, F. M. G. Magpantay|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2015

Numerical methods for differential equations参考文献 40被引用 5

一句话总结

该论文为状态依赖时滞微分方程（DDEs）开发了新颖的李雅普诺夫-拉祖米欣技术，将DDE转化为一个辅助的非自治常微分方程（ODE），其中时滞项作为源项处理。关键贡献是通过反证法和阿泽拉-阿斯科利定理证明了一个新的渐近稳定性定理，避免了构造辅助函数的需要，并将其应用于一个非线性状态依赖DDE模型，以建立渐近稳定性并给出吸引 basin 的下界。

ABSTRACT

We present Lyapunov stability and asymptotic stability theorems for steady state solutions of general state-dependent delay differential equations (DDEs) using Lyapunov-Razumikhin methods. Our results apply to DDEs with multiple discrete state-dependent delays, which may be nonautonomous for the Lyapunov stability result, but autonomous (or periodically forced) for the asymptotic stability result. Our main technique is to replace the DDE by a nonautonomous ordinary differential equation (ODE) where the delayed terms become source terms in the ODE. The asymptotic stability result and its proof are entirely new, and based on a contradiction argument together with the Arzela-Ascoli theorem. This approach alleviates the need to construct auxiliary functions to ensure the asymptotic contraction, which is a feature of all other Lyapunov-Razumikhin asymptotic stability results of which we are aware. We apply our results to a state-dependent model equation which includes Hayes equation as a special case, to directly establish asymptotic stability in parts of the stability domain along with lower bounds on the size of the basin of attraction.

研究动机与目标

• 解决状态依赖时滞微分方程（DDEs）缺乏直接稳定性分析工具的问题，这类方程在控制理论和种群动力学等应用中很常见。
• 克服现有李雅普诺夫-拉祖米欣方法的局限性，这些方法需要构造辅助函数，或在非自治或状态依赖情况下失效。
• 为具有多个离散状态依赖时滞的自治或周期性驱动DDEs开发一个新的渐近稳定性定理。
• 为非线性状态依赖DDE模型的零解的吸引 basin 提供显式的下界。
• 展示该方法在基于线性化的方法尚未严格建立的场景中的适用性，特别是非自治情形。

提出的方法

• 通过将时滞项视为源项，将原始状态依赖DDE转化为一个辅助的非自治ODE。
• 结合反证法与阿泽拉-阿斯科利定理证明渐近稳定性，避免了对辅助函数的依赖。
• 采用李雅普诺夫-拉祖米欣框架，其中李雅普诺夫函数的导数仅在解趋近于平衡态周围球体边界时受到约束。
• 在平衡态附近满足局部利普希茨连续性和有界时滞假设的前提下，建立李雅普诺夫稳定性的充分条件。
• 将该框架应用于一个具有线性状态依赖时滞的模型DDE：ẋ(t) = μx(t) + σx(t − a − c x(t))。
• 利用条件 P(δ₁, c, k) = δ₁ 推导出显式参数区域以保证渐近稳定性，并通过方程 (6.1) 计算 δ₂ 以界定吸引 basin。

实验结果

研究问题

• RQ1 李雅普诺夫-拉祖米欣技术能否在不需构造辅助函数的前提下推广至状态依赖DDEs？
• RQ2 是否可能通过基于反证法的方法证明自治状态依赖DDEs的渐近稳定性，且无需构造辅助函数？
• RQ3 对于状态依赖DDE ẋ(t) = μx(t) + σx(t − a − c x(t))，其零解在哪些显式参数区域内是渐近稳定的？
• RQ4 如何为这类非线性DDEs严格推导出吸引 basin 的下界？
• RQ5 通过李雅普诺夫-拉祖米欣方法得到的稳定性区域与线性化技术的结果相比如何？

主要发现

• 为具有多个离散时滞的自治状态依赖DDEs建立了一个新的渐近稳定性定理，通过反证法和阿泽拉-阿斯科利定理证明。
• 该方法避免了构造辅助函数，这是以往李雅普诺夫-拉祖米欣方法在DDEs中面临的关键限制。
• 对于模型DDE ẋ(t) = μx(t) + σx(t − a − c x(t))，若 (μ, σ) ∈ {P(1, 0, k) < 1}（k = 1, 2, 或 3），则零解是渐近稳定的。
• 通过方程 (6.1) 计算得到的 δ₂ 推导出吸引 basin 的下界，提供了吸引区域的定量估计。
• 所推导的稳定性区域随 k 增大而扩大，但不会随着 k → ∞ 收敛至已知的完整稳定性区域 Σ⋆，表明该方法存在局限性。
• 在尖点区域 Σc（其中 μ > 0）中，构造了反例，表明存在不收敛至原点的解，从而得到吸引 basin 半径的上界 δ∗，并与下界 δ₂ 进行了比较。