[论文解读] Lyapunov spectrum for exceptional rational maps

Katrin Gelfert, Feliks Przytycki+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文通过引入源自非原子不变测度与σ-有限共形测度的隐藏变分压，表征了黎曼球面上异常有理映射的李雅普诺夫指数维数谱。结果表明，李雅普诺夫指数水平集的豪斯多夫维数由该压的勒让德-弗兰克尔变换决定，将先前结果推广至所有不变测度的李雅普诺夫指数上确界超过非原子测度上确界这一异常情形。

ABSTRACT

We study the dimension spectrum for Lyapunov exponents for rational maps acting on the Riemann sphere and characterize it by means of the Legendre-Fenchel transform of the hidden variational pressure. This pressure is defined by means of the variational principle with respect to non-atomic invariant probability measures and is associated to certain $σ$-finite conformal measures. This allows to extend previous results to exceptional rational maps.

研究动机与目标

• 将李雅普诺夫指数维数谱的表征方法推广至此前理论中被排除的异常有理映射。
• 定义并分析一种基于非原子不变测度与σ-有限共形测度的新隐藏变分压。
• 建立李雅普诺夫指数水平集豪斯多夫维数与该隐藏压的勒让德-弗兰克尔变换之间的精确关系。
• 解决所有不变测度的李雅普诺夫指数上确界超过非原子测度上确界的情形，这是异常映射的关键特征。

提出的方法

• 将隐藏变分压 $ \widetilde{P}(\varphi_t) $ 定义为在所有非原子不变测度 $ \mu $ 上，$ h_\mu(f) + \int \varphi_t \, d\mu $ 的上确界，其中 $ \varphi_t = -t \log |f'| $。
• 利用 $ \widetilde{P}(\varphi_t) $ 的勒让德-弗兰克尔变换，定义函数 $ \widetilde{F}(\alpha) = \frac{1}{\alpha} \inf_{t \in \mathbb{R}} (\widetilde{P}(\varphi_t) + t\alpha) $（$ \alpha > 0 $），并将其连续延拓至 $ \alpha = 0 $。
• 建立隐藏压与经典压 $ P(\varphi_t) $ 之间的联系，证明 $ P(\varphi_t) = \max\{ \widetilde{P}(\varphi_t), -t \chi_{\sup} \} $，其中 $ \chi_{\sup} = \sup_{\mu \in \mathcal{M}} \chi(\mu) $。
• 利用反向共形分支与畸变估计，构造出李雅普诺夫指数可任意接近于 Julia 集减去异常集上李雅普诺夫指数本质上确界的周期点。
• 通过望远镜论证与普利斯型双曲时间，控制导数的增长，确保具有所需李雅普诺夫指数的周期点的存在性。
• 证明水平集 $ \mathcal{L}(\alpha, \beta) $ 的维数被 $ \widetilde{F}(q) $ 在 $ q \in [\alpha, \beta] $ 上的下确界与上确界所限制，且在正则情形 $ \alpha = \beta $ 时取等。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有不变测度的李雅普诺夫指数上确界超过非原子测度上确界这一异常情形下，李雅普诺夫指数维数谱的行为如何？
• RQ2 能否通过基于非原子不变测度与σ-有限共形测度定义的隐藏变分压的勒让德-弗兰克尔变换，表征异常情形下李雅普诺夫水平集的维数谱？
• RQ3 异常集 $ \Sigma(f) $ 在限制 Julia 集中点的可能李雅普诺夫指数方面起什么作用？
• RQ4 如何构造出李雅普诺夫指数可任意接近于 $ J \setminus \Sigma $ 上李雅普诺夫指数本质上确界的周期点？
• RQ5 当经典压因映射的异常性而无法解析时，隐藏压 $ \widetilde{P}(\varphi_t) $ 在多大程度上能捕捉李雅普诺夫谱的全部复杂性？

主要发现

• 对任意 $ \alpha, \beta \in [0, \widetilde{\alpha}^+] $ 满足 $ \alpha \leq \beta $，水平集 $ \mathcal{L}(\alpha, \beta) $ 的豪斯多夫维数满足 $ \min\{ \widetilde{F}(\alpha), \widetilde{F}(\beta) \} \leq \dim_{\rm H} \mathcal{L}(\alpha, \beta) \leq \max_{q \in [\alpha, \beta]} \widetilde{F}(q) $。
• 对任意 $ \alpha \in [\alpha^-, \widetilde{\alpha}^+] \setminus \{0\} $，正则水平集 $ \mathcal{L}(\alpha) $ 的维数精确为 $ \dim_{\rm H} \mathcal{L}(\alpha) = \widetilde{F}(\alpha) $。
• 当 $ \alpha = 0 $ 时，零李雅普诺夫指数点集的维数满足 $ \dim_{\rm H} \mathcal{L}(0) \geq \widetilde{F}(0) $，等式猜想成立但尚未证明。
• 满足 $ \overline{\chi}(x) < \alpha^- $ 的点集的豪斯多夫维数为零，表明此类点在 Julia 集中极为稀少。
• 满足 $ \chi(x) < \alpha^- $ 或 $ \overline{\chi}(x) > \widetilde{\alpha}^+ $ 的点集在 $ \Sigma $ 外为空集，表明 $ \alpha^- $ 与 $ \widetilde{\alpha}^+ $ 分别是 $ J \setminus \Sigma $ 上李雅普诺夫指数的本质下确界与上确界。
• 隐藏压 $ \widetilde{P}(\varphi_t) $ 在 $ (-\infty, 0) $ 上是实解析的，即使经典压因映射的异常性而无法解析，它仍通过勒让德-弗兰克尔变换控制维数谱。