[论文解读] Lyapunov Theory for Discrete Time Systems

Nicoletta Bof, Ruggero Carli+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2018

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 2被引用 71

一句话总结

一个技术报告，汇编 Lyapunov-theoretic 结果用于离散时间系统，包括稳定性、LaSalle's invariance、线性化，以及带证明的非自治扩展。

ABSTRACT

In this work, we present the equivalent of many theorems available for continuous time systems. In particular, the theory is applied to Averaging Theory and Separation of time scales. In particular the proofs developed for Averaging Theory and Separation of time scales departs from those typically used in continuous time systems that are based on twice differentiable change of variables and the multiple use of the Implicit Function Theorem and Mean Value Theorem. More specifically, by constructing a suitable Lyapunov function only Lipschitz conditions are necessary. Finally, it is shown that under mild condition on the so-called "interconnection conditions" the proposed tools can guarantee semi-global exponential stability rather than the more stringent local exponential stability typically found in the literature

研究动机与目标

• 提供一个自包含的关于离散时间系统的 Lyapunov 相关定理集合。
• 提供从连续时间理论向离散时间系统扩展的 Lyapunov 方法的证明和扩展。
• 通过 Lyapunov 与不变量原理为特定离散时间类提供收敛性结果。
• 通过离散化的 Lyapunov 函数和线性化结果架起线性与非线性分析之间的桥梁。

提出的方法

• 引入自治和非自治离散时间系统的稳定性概念。
• 推导保障稳定性和渐近稳定性的 Lyapunov 条件，使用 V(f(x))−V(x) ≤ 0 或 < 0。
• 通过具有径向无界或适当增长的 Lyapunov 函数建立全局结果。
• 将 LaSalle’s invariance principle 应用于离散时间动力学，以推断渐近行为。
• 通过 Lyapunov 方程发展线性 System 结果，并证明与 Schur 稳定性的等价性。
• 解释在平衡点邻近的非线性系统的线性化与 Lyapunov 间接法。

实验结果

研究问题

• RQ1 离散时间自治系统的哪些 Lyapunov 条件可以保证稳定性和渐近稳定性？
• RQ2 如何将 LaSalle’s invariance principle 应用于离散时间动力学以描述极限集合？
• RQ3 原点处的线性化与使用 Lyapunov 函数的非线性稳定性之间的关系是什么？
• RQ4 非自治（时变）离散时间系统如何通过 Lyapunov 方法保持稳定性属性？
• RQ5 对线性和非线性离散化系统存在性与唯一性 Lyapunov 函数的条件是什么？

主要发现

• 一个 Lyapunov 函数若满足 V(f(x))−V(x)≤0 则确保稳定性；严格小于0则得到渐近稳定性。
• LaSalle’s theorem 给出在零变差集合 S 内最大的不变集上的收敛性。
• 当 V 是径向无界且 V(f(x))−V(x)≤0 时，可获得全局渐近稳定性。
• 对于线性系统，Schur 稳定性（特征值在单位圆内）当且仅当存在一个正定的 P 使 AᵀPA−P=−Q 对任意 Q>0 成立。
• 若线性化在平衡点处是渐近稳定的，则非线性系统在该点附近存在 Lyapunov 函数（Lyapunov 的间接方法）。
• 文本将稳定性概念扩展到非自治/离散时间情形，并给出 KL、K 与指数收敛表征。