[论文解读] Lyapunov-Type Inequalities for Discrete Riemann-Liouville Fractional Boundary Value Problems

Jagan Mohan Jonnalagadda|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2018

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 37被引用 4

一句话总结

本文利用下划线微积分，为两点离散Riemann-Liouville分数阶边值问题建立了Lyapunov型不等式。推导了势函数绝对值之和的下界，证明了只有当该和超过涉及Gamma函数和广义上升阶乘的阈值时，非平凡解才可能存在。主要贡献是为下划线分数阶差分提出了一种新型Lyapunov不等式，从而实现了对解的非存在性准则、特征值界以及离散Mittag-Leffler函数零点自由条件的推导。

ABSTRACT

In this article we establish a few Lyapunov-type inequalities for two-point discrete fractional boundary value problems involving Riemann-Liouville type backward differences. To illustrate the applicability of established results, we obtain criteria for the nonexistence of nontrivial solutions and estimate lower bounds for eigenvalues of the corresponding eigenvalue problems. We also apply these inequalities to deduce criteria for the nonexistence of real zeros of certain discrete Mittag-Leffler functions.

研究动机与目标

• 推导涉及下划线Riemann-Liouville差分的离散分数阶边值问题的新Lyapunov型不等式。
• 为离散分数阶边值问题中非平凡解的非存在性提供充分条件。
• 估计相应特征值问题特征值的下界。
• 推导某些离散Mittag-Leffler函数无实零点的判别条件。

提出的方法

• 利用下划线分数阶微积分，为右聚焦离散分数阶边值问题推导格林函数。
• 利用格林函数在定义域上建立逐点界和最大值估计。
• 将格林函数的最大值代入，推导出涉及Gamma函数和广义上升阶乘的Lyapunov型不等式。
• 利用该不等式证明：当势函数满足阈值条件时，非平凡解不存在。
• 将不等式应用于特征值问题，推导出与 $ \Gamma(\alpha) / (b-a-1)^{\overline{\alpha-1}} $ 成正比的下界。
• 通过特征值分析，将不等式与离散Mittag-Leffler函数无实零点的条件联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有下划线Riemann-Liouville差分的离散分数阶边值问题，$ \sum_{s=a+2}^{b} |q(s)| $ 的精确下界是多少，才能保证非平凡解的非存在性？
• RQ2 Lyapunov型不等式如何推广到具有右聚焦边界条件的离散分数阶问题？
• RQ3 对于相应的离散分数阶特征值问题，可建立怎样的特征值下界？
• RQ4 在何种条件下，离散Mittag-Leffler函数 $ E_{-\lambda,\alpha,0}(n,0) + \lambda E_{-\lambda,\alpha,\alpha-1}(n,0) $ 无实零点？

主要发现

• 非平凡解的Lyapunov型不等式 $ \sum_{s=a+2}^{b} |q(s)| \geq \frac{\Gamma(\alpha)}{(b-a-1)^{\overline{\alpha-1}}} $ 成立。
• 若 $ \sum_{s=a+2}^{b} |q(s)| < \frac{\Gamma(\alpha)}{(b-a-1)^{\overline{\alpha-1}}} $，则不存在非平凡解。
• 对于特征值问题 $ \nabla^\alpha_0 u(t) + \lambda u(t) = 0 $，其特征值满足 $ |\lambda| \geq \frac{\Gamma(\alpha)}{(n-1)(n-1)^{\overline{\alpha-1}}} $。
• 当 $ |\lambda| < \frac{\Gamma(\alpha)}{(n-1)(n-1)^{\overline{\alpha-1}}} $ 时，离散Mittag-Leffler函数 $ E_{-\lambda,\alpha,0}(n,0) + \lambda E_{-\lambda,\alpha,\alpha-1}(n,0) $ 无实零点。
• 格林函数 $ G_r(t,s) $ 在定义域上的最大值为 $ \frac{(b-a-1)^{\overline{\alpha-1}}}{\Gamma(\alpha)} $，这是推导不等式的关键。
• 证明依赖于对格林函数在整个定义域上求和的有界性，以及广义上升阶乘和Gamma函数的性质。