[论文解读] lymph: discontinuous poLYtopal methods for Multi-PHysics differential problems

Paola F. Antonietti, Stefano Bonetti+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2024

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 4

一句话总结

本论文介绍了 lymph，一个用于在多胞形网格上求解耦合多物理场问题的开源 MATLAB 库，采用高阶不连续伽辽金（PolyDG）离散化方法。该库结合了几何灵活性、高阶精度和对异质材料属性的鲁棒性，在具有复杂界面和不同网格分辨率的泊松方程、热传导方程和弹性动力学问题中均展示了良好的收敛性和效率。

ABSTRACT

We present the library lymph for the finite element numerical discretization of coupled multi-physics problems. lymph is a Matlab library for the discretization of partial differential equations based on high-order discontinuous Galerkin methods on polytopal grids (PolyDG) for spatial discretization coupled with suitable finite-difference time marching schemes. The objective of the paper is to introduce the library by describing it in terms of installation, input/output data, and code structure, highlighting - when necessary - key implementation aspects related to the method. A user guide, proceeding step-by-step in the implementation and solution of a Poisson problem, is also provided. In the last part of the paper, we show the results obtained for several differential problems, namely the Poisson problem, the heat equation, the elastodynamics system, and a multiphysics problem coupling poroelasticity and acoustic equations. Through these examples, we show the convergence properties and highlight some of the main features of the proposed method, i.e. geometric flexibility, high-order accuracy, and robustness with respect to heterogeneous physical parameters.

研究动机与目标

• 开发一个灵活、用户友好的 MATLAB 库，用于在多胞形网格上使用高阶不连续伽辽金方法求解耦合多物理场问题。
• 实现在具有异质材料属性和非匹配界面的复杂几何形状中，实现精确且鲁棒的数值模拟。
• 提供一个通用、可扩展的框架，支持任意阶空间离散化和通过有限差分法实现的时间积分。
• 在基准问题（包括泊松方程、热传导方程和弹性动力学系统）中，展示该方法的收敛性、可扩展性和鲁棒性。
• 提供完整的软件栈，包含安装说明、输入/输出处理以及逐步用户指南，以支持可复现的模拟。

提出的方法

• 空间离散化采用在多胞形（多边形/多面体）网格上的高阶不连续伽辽金方法，实现几何灵活性和局部加密。
• 该方法采用分层多项式基函数和与单元面数无关的局部求解器，支持聚合和 h-型加密。
• 时间积分采用 C rank-Nicolson 法求解一阶系统，Newmark-β 法求解二阶系统，确保时间上的稳定性和精度。
• 该库支持任意阶精度，且与维度无关，可无缝实现从二维到三维问题的迁移。
• 实现模块化且可扩展，用户可仅通过少量代码修改，即可耦合现有物理模型或实现新物理模型。
• 软件包含完整的用户指南，通过逐步求解泊松问题的示例，确保新用户易于上手机。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在通用、用户友好的 MATLAB 库中，有效实现多胞形网格上的高阶不连续伽辽金方法，以求解多物理场问题？
• RQ2 当应用于具有异质材料属性的耦合问题时，PolyDG 方法的收敛行为和计算效率如何？
• RQ3 该库在多物理场模拟中如何处理复杂几何形状、非匹配界面和不同网格分辨率？
• RQ4 该库能否在包括椭圆型、抛物型和双曲型系统在内的多种 PDE 中实现鲁棒性能和高阶精度？
• RQ5 在真实的三维多材料环境中，该方法的实际计算成本和可扩展性特征如何？

主要发现

• lymph 库在泊松方程、热传导方程和弹性动力学问题中均实现了最优收敛率，验证了 PolyDG 方法的理论精度。
• 在包含 409,080 个自由度的弹性动力学测试用例中，系统矩阵的组装耗时 2056 秒，单个时间步长的计算约需 300 秒。
• 该方法能够准确捕捉由于材料不连续性引起的强扰动和表面波传播，展示了在异质介质中的鲁棒性。
• 采用聚合多胞形网格可实现局部加密和复杂界面的精确表示，同时不降低求解器效率。
• 该库表现出强大的几何灵活性，可在不同材料中实现不同网格尺寸（从 h ≈ 160 m 到 h ≈ 1500 m）的精确建模。
• 该实现支持任意多项式阶次（例如 ℓ = 5），并在所有测试问题中保持稳定性和精度，包括高材料对比度的情况。