[论文解读] Lyndon words and short superstrings

Marcin Mucha|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2013

Algorithms and Data Compression参考文献 26被引用 37

一句话总结

本文通过结合最大有向TSP路径问题的2/3-近似算法与基于环覆盖的1/2-近似方法，提出了一种针对最短超串问题的新型2 11/23-近似算法。其关键创新在于利用Lyndon词扩展重叠结构理论，通过细化字符串重叠的分析，打破了长期存在的2.5-近似瓶颈。

ABSTRACT

In the shortest superstring problem, we are given a set of strings {s1,...,sk} and want to find a string that contains all si as substrings and has minimum length. This is a classical problem in approximation and the best known approximation factor is 2 1/2, given by Sweedyk [19] in 1999. Since then no improvement has been made, howerever two other approaches yielding a 2 1/2-approximation algorithms have been proposed by Kaplan et al. [10] and recently by Paluch et al. [16] --- both based on a reduction to maximum asymmetric TSP path (Max-ATSP-Path) and structural results of Breslauer et al. [5].In this paper we give an algorithm that achieves an approximation ratio of 2 11/23, breaking through the longstanding bound of 2 1/2. We use the standard reduction of Shortest-Superstring to Max-ATSP-Path. The new, somewhat surprising, algorithmic idea is to take the better of the two solutions obtained by using: (a) the currently best 2/3-approximation algorithm for Max-ATSP-Path and (b) a naive cycle-cover based 1/2-approximation algorithm. To prove that this indeed results in an improvement, we further develop a theory of string overlaps, extending the results of Breslauer et al. [5]. This theory is based on the novel use of Lyndon words, as a substitute for generic unbordered rotations and critical factorizations, as used by Breslauer et al.

研究动机与目标

• 打破最短超串问题中长期存在的2.5-近似瓶颈。
• 利用Lyndon词作为无边界的旋转和临界分解的替代方案，建立字符串重叠的新理论框架。
• 通过结合两种不同算法（Max-ATSP-Path的2/3-近似算法与基于环覆盖的1/2-近似算法）来提升近似比。
• 基于Lyndon词对字符串重叠的分析，扩展Breslauer等人[5]的结构结果。

提出的方法

• 将最短超串问题归约为最大有向TSP路径（Max-ATSP-Path）问题。
• 应用当前最优的2/3-近似算法求解Max-ATSP-Path。
• 将一种朴素的基于环覆盖的1/2-近似算法作为第二种候选解。
• 从2/3近似和1/2近似两种解中选择更优者，用于构建超串。
• 基于Lyndon词开发一种新的字符串重叠理论，以分析和比较两种解路径。
• 用基于Lyndon词的分解方式，替代Breslauer等人[5]中的通用无边界旋转与临界分解，实现更紧密的结构分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过新颖的算法组合，突破最短超串问题中2.5-近似界限？
• RQ2 如何利用Lyndon词来细化超串构造过程中字符串重叠的分析？
• RQ3 当使用基于Lyndon词的分解而非临界分解时，重叠的结构特性有何变化？
• RQ4 将2/3-近似与1/2-近似相结合，是否能获得优于单独使用任一算法的整体近似比？
• RQ5 能否利用基于Lyndon词的方法，扩展并改进Breslauer等人[5]的理论框架？

主要发现

• 本文在最短超串问题上实现了2 11/23的新近似比，优于长期存在的2.5界限。
• 该改进通过选取两种解中的更优者实现：一种来自Max-ATSP-Path的2/3-近似，另一种来自基于环覆盖的1/2-近似。
• Lyndon词被用作基础工具，重新推导并扩展了Breslauer等人[5]的重叠结构理论，取代了无边界旋转与临界分解。
• 使用Lyndon词使得字符串重叠的分析更加精细，这对证明改进后的近似比至关重要。
• 所开发的理论框架通过利用Lyndon词在字符串重叠中的组合性质，实现了对超串长度的更紧致界。
• 结果表明，将近似算法与高级字符串组合学相结合，可在基础字符串问题中实现显著改进。