[论文解读] Möbius disjointness for analytic skew products

Zhiren Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文證明了所有在 2-環面上的解析扭曲積的 Sarnak 的 Möbius 不相交猜想，顯示 Möbius 函數與此類系統的動力系統 asymptotically 正交。證明結合了 Furstenberg 的動力二分法、Bourgain-Sarnak-Ziegler 準則，以及 Matom"{a}ki-Radziwi{ጞl{ጞl}}-Tao 對乘法函數的短區間估計，確立了對於任意連續函數 $ f $ 與初始點 $ (x_0,y_0) $，$ \mu(n)f(T^n(x_0,y_0)) $ 的平均值收斂至零。

ABSTRACT

We show that the Möbius function is disjoint to every analytic skew product dynamical system on the two-torus over a rotation of the circle.

研究动机与目标

• 為 $\mathbb{T}^2$ 上的解析扭曲積建立 Sarnak 的 Möbius 不相交猜想，無需對扭曲函數的傅立葉係數施加下界。
• 將 Möbius 不相交性成立的不規則動力系統類別擴展至先前已知情況之外。
• 消除對 $ h $ 的傅立葉係數所需的指數下界之需求，此下界曾用於應用 van der Corput 方法。
• 展示 Möbius 不相交性對每一個初始條件都點態成立，而不僅僅是幾乎處處成立。

提出的方法

• 應用 Furstenberg 的動力二分法，將系統分類為唯一遍歷或在基方向上具有 Lebesgue 測度的有限覆蓋。
• 使用 Bourgain-Sarnak-Ziegler 準則，將問題簡化為證明對於相異質數 $ p_1, p_2 $，$ f(T^{p_1 n}(x_0,y_0)) $ 與 $ f(T^{p_2 n}(x_0,y_0)) $ 的相關性消失。
• 當唯一遍歷性不成立時，利用傅立葉級數證明軌道序列在長度為 $ l $ 的區間內可被週期為 $ Q $ 的序列良好逼近，且 $ l $ 關於 $ Q $ 呈指數增長。
• 將週期逼近分解為模 $ Q $ 的 Dirichlet 特徵，從而將問題簡化為控制 $ \mu(n)\chi(n) $ 在短區間上的平均值。
• 利用 Matom"{a}ki-Radziwi{ጞl{ጞl}}-Tao 定理對非偽造乘法函數的短區間平均值的估計，以控制 $ \mu(n)\chi(n) $ 的平均值。
• 整合所有特徵的界，並利用 $ l $ 相對於 $ Q $ 的指數增長，防止誤差累積，從而確保整體的不相交性。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於 $\mathbb{T}^2$ 上的解析扭曲積，即使扭曲函數 $ h $ 的傅立葉係數不滿足下界條件，Möbius 不相交性是否仍然成立？
• RQ2 Bourgain-Sarnak-Ziegler 準則是否可應用於經驗測度不弱收斂的不規則動力系統？
• RQ3 當 $ \chi $ 為非主 Dirichlet 特徵時，是否能在不假設偽造性的情況下控制 $ \mu(n)\chi(n) $ 在短區間上的平均值？
• RQ4 動力結構與乘法函數的數論估計之間的互動，如何在非正則系統中促成不相交性？

主要发现

• Möbius 函數與 $\mathbb{T}^2$ 上所有解析扭曲積動力系統均不相交，即對於所有連續函數 $ f $ 與所有初始點 $ (x_0,y_0) $，有 $ \frac{1}{N}\sum_{n\leq N}\mu(n)f(T^n(x_0,y_0))\to 0 $。
• 此結果無需假設 $ h $ 的傅立葉係數有下界，因此推廣了先前需藉由 van der Corput 方法的下界才能取得消去效果的結果。
• 證明確立了對不規則系統的不相交性，包括 Furstenberg 反例的拓撲共軛，此為首項針對真正不規則動力系統的此類結果。
• 該方法依賴於 Matom"{a}ki-Radziwi{ጞl{ጞl}}-Tao 對乘法函數短區間平均值的估計，確保當 $ l $ 足夠大且 $ \mu\chi $ 為非偽造時，$ \mathbb{E}_{n\in[L,L+l)}\mu(n)\chi(n) $ 的平均值很小。
• 平均值 $ \mu(n)f(T^n(x_0,y_0)) $ 的界隨 $ N\to\infty $ 而趨於零，其衰減速率受控於 $ \rho_{Sq_k}(\delta N / Sq_k) $，當 $ N $ 增大時此量趨於零。
• 最終的誤差界為 $ \delta + \left(Sq_k \cdot \rho_{Sq_k}(\delta N / Sq_k) + S^{-1} q_k^{-1} \log^2 q_k\right)^{1/2} $，透過選擇小的 $ \delta $ 和大的 $ q_k $，此界可任意小。