[论文解读] Möbius Disjointness for Nilsequences Along Short Intervals

Xiaoguang He, Zhiren Wang|arXiv (Cornell University)|May 8, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文建立了尼尔序列在短区间内与莫比乌斯函数的默比乌斯不相交性的定量界限，证明了当区间长度 $ H $ 和总范围 $ N $ 同时趋于无穷时，莫比乌斯函数与1-利普希茨尼尔序列之间的相关性以一致方式衰减。该结果推广了达文波特的指数和估计以及格林-陶的正交性结果至短区间，利用多项式序列在尼尔流形上的有效等分布与小弧分析。

ABSTRACT

For a nilmanifold $G/Γ$, a $1$-Lipschitz continuous function $F$ and the Möbius sequence $μ(n)$, we prove a bound on the decay of the averaged short interval correlation $$\frac1{HN}\sum_{n\leq N}\Big|\sum_{h\leq H} μ(n+h)F(g^{n+h}x)\Big|$$ as $H,N o\infty$. The bound is uniform in $g\in G$, $x\in G/Γ$ and $F$.

研究动机与目标

• 建立尼尔流形中莫比乌斯函数与尼尔序列在短区间相关性的定量、统一界限。
• 将达文波特关于指数和的经典估计推广至尼尔序列与短区间。
• 统一格林-陶（莫比乌斯函数与尼尔序列的正交性）与马托迈基-拉兹维利（乘法函数的短区间平均）的方法。
• 提供一种与尼尔流形结构、群元素或可观测量函数无关的有效、统一衰减速率。

提出的方法

• 使用关于双参数多项式的定量分解定理，将尼尔序列分解为结构部分与伪随机部分。
• 应用大弧与小弧的分离方法，大弧部分通过等分布估计处理，小弧部分通过卡塔伊-布爾冈-萨尔纳克-齐格尔准则处理。
• 采用改进版的马托迈基-拉兹维利短区间方法，结合尼尔流形中多项式轨道的有效等分布。
• 引入一种混合大弧-小弧估计，使用函数 $ \tilde{M}(\beta, X, Y) $，该函数量化了乘法函数中的抵消效应。
• 应用瓦伦的恒等式与双线性方法控制小弧贡献，利用 [MRT16] 中的界限。
• 构造一个密度为 $ \ll \epsilon N $ 的例外集 $ \tilde{\mathcal{S}} $，在该集合之外，相关性较小，并通过依赖于 $ \epsilon $ 的界限控制误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 莫比乌斯不相交性原理能否从长区间推广至尼尔序列的短区间？
• RQ2 当 $ H, N \to \infty $ 时，短区间相关性 $ \left| \sum_{h \leq H} \mu(n+h) F(g^{n+h}x) \right| $ 的有效、统一衰减速率是多少？
• RQ3 如何将格林-陶（长区间正交性）与马托迈基-拉兹维利（短区间平均）的方法结合用于尼尔序列？
• RQ4 该衰减是否对所有尼尔流形、群元素及1-利普希茨可观测量函数都一致？

主要发现

• 本文建立了如下统一界限： $$ \frac{1}{HN} \sum_{n \leq N} \left| \sum_{h \leq H} \mu(n+h) F(g^{n+h}x) \right| \ll \left( H^{-\epsilon} + H^{4C\epsilon} e^{-\frac{1}{2} \tilde{M}(\beta, N/H^{10C\epsilon}, H^{2C\epsilon})} \tilde{M}(\cdots)^{1/2} + H^{4C\epsilon} (\log(N/H^{10C\epsilon}))^{-1/100} \right) $$ 其中 $ \epsilon > 0 $ 任意，$ C $ 仅依赖于幂零类与维数。
• 当 $ N \to \infty $ 时，该界限趋于零，且在 $ g \in G $、$ x \in G/\Gamma $ 与1-利普希茨 $ F $ 上一致成立，条件为 $ N > \exp((\log H)^2) $。
• 衰减是有效的，并通过函数 $ \tilde{M}(\beta, X, Y) $ 定量控制，当 $ X \to \infty $ 时，对于莫比乌斯函数 $ \beta = \mu $，该函数趋于无穷，从而确保误差项消失。
• 该结果表明，平均短区间相关性趋于零，证实了尼尔系统在短区间中莫比乌斯不相交性猜想的强化形式。
• 例外集 $ \mathcal{S} $（该界限可能不成立的集合）的密度为 $ \ll \epsilon N $，其带来的误差由 $ \epsilon $ 控制，而 $ \epsilon $ 可任意小。