[论文解读] Möbius transformations and the Poincaré distance in the quaternionic setting

Cinzia Bisi, Graziano Gentili|ArXiv.org|May 3, 2008

Mathematics and Applications参考文献 4被引用 14

一句话总结

本文通过使用从单位圆盘 $\Delta_{\mathbb{H}}$ 到上半空间 $\mathbb{H}^+$ 的类似凯莱变换，在四元数设定下定义了莫比乌斯变换和庞加莱距离，建立了四元数庞加莱几何的类比。引入了四元数的交比，并证明由此得到的庞加莱距离在莫比乌斯变换下保持不变，表明四元数庞加莱距离与 $\Delta_{\mathbb{H}}$ 上的复库巴亚希距离之间不存在等距同构，这与对称空间分类一致。

ABSTRACT

In the space $\hh$ of quaternions, we investigate the natural, invariant geometry of the open, unit disc $Δ_{\hh}$ and of the open half-space $\hh^{+}$. These two domains are diffeomorphic via a Cayley-type transformation. We first study the geometrical structure of the groups of Möbius transformations of $Δ_{\hh}$ and $\hh^{+}$ and identify original ways of representing them in terms of two (isomorphic) groups of matrices with quaternionic entries. We then define the cross-ratio of four quaternions, prove that, when real, it is invariant under the action of the Möbius transformations, and use it to define the analogous of the Poincaré distances on $Δ_{\hh}$ and $\hh^{+}$. We easily deduce that there exists no isometry between the quaternionic Poincaré distance of $Δ_{\hh}$ and the Kobayashi distance inherited by $Δ_{\hh}$ as a domain of $\mathbb{C}^{2}$, in accordance with a direct consequence of the classification of the non compact, rank 1, symmetric spaces.

研究动机与目标

• 通过莫比乌斯变换发展四元数单位圆盘 $\Delta_{\mathbb{H}}$ 和上半空间 $\mathbb{H}^+$ 的不变几何。
• 通过四个四元数的交比定义四元数庞加莱距离的类比。
• 利用具有四元数系数的矩阵群识别四元数莫比乌斯变换群。
• 证明四元数庞加莱距离在莫比乌斯变换下的不变性。
• 将四元数庞加莱距离与复库巴亚希距离进行比较，表明二者之间不存在等距同构。

提出的方法

• 为 $2 \times 2$ 四元数矩阵定义迪厄多内行列式，以实现矩阵求逆和群结构分析。
• 将四元数莫比乌斯变换群 $\mathbb{G}$ 构造为分式线性变换 $L_A(q) = (aq + b)(cq + d)^{-1}$。
• 建立群同态 $\Phi: GL(2,\mathbb{H}) \to \mathbb{G}$，其核等于 $GL(2,\mathbb{H})$ 的中心。
• 利用凯莱变换 $\psi(q) = (1+q)(1-q)^{-1}$ 关联 $\Delta_{\mathbb{H}}$ 与 $\mathbb{H}^+$，并保持复直线 $L_I \cong \mathbb{C}$。
• 通过四个点（包括测地线端点）的实交比的对数定义 $\mathbb{H}^+$ 上的庞加莱距离。
• 推导出 $\mathbb{H}^+$ 上的庞加莱微分度量 $ds_{{\mathbb{H}}^+}^2 = \frac{|d_I q|^2}{4|\Re e(q)|^2}$，并证明其在 $\mathbb{M}^*(\mathbb{H}^+)$ 作用下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用矩阵群在四元数设定下定义和表示莫比乌斯变换？
• RQ2 四元数庞加莱距离的类比是什么？其几何构造方式如何？
• RQ3 四元数庞加莱距离与 $\Delta_{\mathbb{H}}$ 上的复库巴亚希距离是否等距同构？
• RQ4 四个四元数的交比在莫比乌斯变换下如何表现？其何时为实数？
• RQ5 群 $SL(\mathbb{H}^+)$ 与 $\mathbb{H}^+$ 上莫比乌斯变换群之间存在何种关系？

主要发现

• 四元数莫比乌斯变换群 $\mathbb{G}$ 同构于 $GL(2,\mathbb{H})$ 模其中心，同态 $\Phi$ 将矩阵映射到分式线性变换。
• 迪厄多内行列式 $\det_{\mathbb{H}}(A) = \sqrt{|a|^2|d|^2 + |c|^2|b|^2 - 2\Re(c\overline{a}b\overline{d})}$ 为四元数 $2 \times 2$ 矩阵提供了自然不变量。
• 凯莱变换 $\psi(q) = (1+q)(1-q)^{-1}$ 微分同胚地将 $\Delta_{\mathbb{H}}$ 映射到 $\mathbb{H}^+$，并保持复直线 $L_I \cong \mathbb{C}$。
• 上半空间 $\mathbb{H}^+$ 上的庞加莱距离定义为 $\omega(q_1, q_2) = \frac{1}{2} \log(\mathcal{CR}(q_1, q_2, q_3, q_4))$，其中 $\mathcal{CR}$ 为两点与测地线边界交点的交比。
• 庞加莱微分度量 $ds_{{\mathbb{H}}^+}^2 = \frac{|d_I q|^2}{4|\Re e(q)|^2}$ 在 $\mathbb{M}^*(\mathbb{H}^+)$，即扩展莫比乌斯群的作用下保持不变。
• 四元数庞加莱距离在 $\Delta_{\mathbb{H}}$ 上与从 $\mathbb{C}^2$ 继承的库巴亚希距离之间不存在等距同构，确认了两种双曲几何之间的非等距同构性质。