[论文解读] m-Contiguity Distance

Nilay Ekiz Yazici, Nursultan Kuanyshov+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2026

Topological and Geometric Data Analysis被引用 0

一句话总结

论文引入了 m-连通距离用于单纯复映射，发展其基本性质，并导出经典同伦理不变量的离散类比，如 m-单纯复 LS-范畴和 m-离散拓扑复杂性。

ABSTRACT

In this paper, we systematically develop the m-contiguity distance between simplicial maps as a discrete approximation framework for homotopical complexity in the category of simplicial complexes. We construct an increasing sequence of invariants that approximate the contiguity distance from below. The fundamental properties of m-contiguity distance are established, including invariance under barycentric subdivision, behavior under compositions, and a categorical product inequality. As applications of this theory, we define the m-simplicial Lusternik-Schnirelmann category and the m-discrete topological complexity, proving that each arises naturally as a special case of m-contiguity distance.

研究动机与目标

• 用 m-连通距离为单纯复的同伦理复杂性建立一个离散近似框架并进行形式化。
• 确立核心性质：在重心细分下的不变性、组合下的行为以及乘积不等式。
• 通过将 m-单纯复 LS-范畴和 m-离散拓扑复杂性定义为特例，将其与经典不变量连接起来。
• 在 m-近似设置下发展相关概念，如基于 Moore 路径的不变量和单纯复纤维化。

提出的方法

• 将 m-连通距离 SD_m(φ,ψ) 定义为使 K 可以被子复形覆盖的最小的 k，在这些子复形上 φ 与 ψ 在与任意 m 维复合映射组成后是 contiguity 等价的。
• 证明基本性质：SD_m(φ∘α, ψ∘α) ≤ SD_m(φ,ψ)；SD_m(β∘φ, β∘ψ) ≤ SD_m(φ,ψ)；SD_m(φ,ψ) ≤ SD(φ,ψ)；并且 SD_n(φ,ψ) 对 m 单调递增。
• 证明 SD_m 尊重重心细分：SD_m(sd(φ), sd(ψ)) ≤ SD_m(φ,ψ)。
• 建立范畴乘积不等式：SD_m(φ×φ′, ψ×ψ′) + 1 ≤ (SD_m(φ,ψ)+1)(SD_m(φ′,ψ′)+1)。
• 引入并关联 m-单纯复 LS-范畴和通过提取与 Moore 路径相关的 m 维不变量。
• 证明 m-单纯复 LS-范畴 作为 SD_m(i1,i2) 的特例，其中 i1,i2: K→K^2；并扩展到 m 维 Schwarz 范畴和 m 维离散拓扑复杂性。
• 证明 m 维离散拓扑复杂性 TC^m(K) 等于 SD_m(pr1, pr2)，给出 Farber 型拓扑复杂性的离散类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 contiguity 距离是否可以通过一个递增序列（m-contiguity distance）从下方近似？
• RQ2 从该框架自然产生的离散不变量有哪些（如 m-单纯复 LS-范畴、m-离散拓扑复杂性）？
• RQ3 这些不变量在细分、乘积和纤维化下如何表现，它们与经典连续不变量之间有何关系？
• RQ4 在何种条件下 Moore 路径和单纯复纤维化技术能够在 m 设置中实现分段型不变量之间的等价？

主要发现

• SD_m 提供一个递增的不变量族，随着 m 的增大收敛到经典 contiguity 距离。
• 在重心细分的不变性与乘积不等式的支持下，SD_m 处于一个稳健的范畴/同伦理框架内。
• m-单纯复 LS-范畴和 m-离散拓扑复杂性作为 SD_m 的特例出现，为其提供对经典对应物的下界近似。
• TC^m(K) 被刻画为 SD_m(pr1, pr2)，提供了 Farber 型拓扑复杂性的离散类比。
• 对于单纯复纤维化，hsecat_m(p) = secat_m(p)，在 m-语境中对齐了同伦理和分段范畴的概念。