[论文解读] M\\'ethode de Mahler, transcendance et relations lin\\'eaires : aspects effectifs

Boris Adamczewski, Colin Faverjon|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Meromorphic and Entire Functions参考文献 3被引用 11

一句话总结

本文提出了有效算法，用于判断q- Mahler函数在代数点处的取值是代数的还是超越的，以及计算此类取值之间的线性关系。基于Philippon的超越性判别准则，作者设计了一种计算方法，以判断f(α)是否属于k(α)中的代数数或为超越数，并显式计算出在α处多个q-Mahler函数取值之间在Q̄上的线性依赖关系的一组基。

ABSTRACT

This note deals with some effective results in Mahler's method. In a recent work, we used a theorem of Philippon to show that given a Mahler function $f(z)$ in ${\\bf k}\\{z\\}$, where ${\\bf k}$ denotes a number field, and an algebraic number $\\alpha$ in the domain of holomorphy of $f$, the number $f(\\alpha)$ is either transcendental or belongs to ${\\bf k}(\\alpha)$. We describe here an effective procedure to decide if such a number is transcendental or not. More generally, given several Mahler functions $f_1(z),\\cdots,f_r(z)$ and an algebraic number $\\alpha$ in the domain of holomorphy of these functions, we show how to effectively determine a basis of the vector space of $\\overline{\\mathbb Q}$-linear relations between $f_1(\\alpha),\\cdots,f_r(\\alpha)$.

研究动机与目标

• 开发算法方法，以确定给定q-Mahler函数f(z)在代数点α处的取值f(α)是代数数还是超越数。
• 有效计算多个q-Mahler函数在公共代数点α处的取值f₁(α), ..., fr(α)之间在Q̄上的线性依赖关系空间的一组基。
• 提供一种有效算法，用于计算给定q-Mahler函数所满足的最小非齐次Mahler方程。
• 建立一个构造性框架，用于处理系数属于数域k的q-Mahler函数，确保超越性与线性关系的算法可判定性。

提出的方法

• 利用Philippon的超越性判别准则，将决策问题简化为在域扩张k(α)中检查代数性。
• 通过算法求解由Mahler方程(1)导出的递推关系，计算f(z)的泰勒系数直至有限截断。
• 通过求解k上的一组线性方程组，基于系数多项式的赋值，计算最小非齐次Mahler方程。
• 应用线性递推关系与洛朗级数展开理论，确定Mahler方程解空间的维数。
• 使用矩阵递推关系(2)处理q-Mahler函数系统，算法确定系数向量f_k（k不超过依赖于矩阵A(z)赋值的界限）。
• 通过在由系数矩阵赋值决定的关键索引处截断递推关系，构造解的有限维仿射空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的q-Mahler函数f(z)和满足|α| < 1的代数α，能否算法性地判断f(α)是代数数还是超越数？
• RQ2 对于多个q-Mahler函数f₁(z), ..., fr(z)，能否有效计算Q̄-向量空间中线性关系∑λᵢfᵢ(α) = 0的一组基？
• RQ3 如何算法性地确定给定q-Mahler函数所满足的最小非齐次Mahler方程？
• RQ4 q-Mahler方程解空间中自由参数数量的有效界是多少？如何计算该界？

主要发现

• 对于属于k{z}的q-Mahler函数f(z)及满足0 < |α| < 1的代数α，f(α)要么是超越数，要么属于域扩张k(α)，且该二选一可被算法判定。
• 通过Mahler系统的递推结构，可有效计算f₁(α), ..., fr(α)之间在Q̄上的线性依赖关系空间的一组基。
• q-Mahler方程(1)的解空间维数至多为1 + ν₀/(q−1)，其中ν₀是首项系数多项式p₀(z)的赋值，且该界是有效的。
• 对于q-Mahler函数系统(2)，当k > ⌊−ν/(q−1)⌋时，系数f_k由初始系数f_k（k ≤ ⌊−ν/(q−1)⌋）唯一确定，其中ν是矩阵A(z)的最小赋值。
• 通过在数域k上求解有限个线性方程组，可算法性地计算给定q-Mahler函数的最小非齐次Mahler方程。
• 所提出的算法是有效且构造性的，仅依赖于多项式算术、赋值分析以及数域上的线性代数，从而确保了超越性与线性关系的可判定性。