[论文解读] (m,n)-Semirings and a Generalized Fault Tolerance Algebra of Systems

Syed Eqbal Alam, Shrisha Rao+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2010

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文引入了(m,n)-半环这一广义代数结构，以扩展传统半环，用于建模和比较复杂系统中的容错性。通过在这些结构上定义偏序，作者形式化了基于组件可靠性的系统容错性比较，证明了在m元和n元运算下，组件层面的支配关系可推出系统层面的支配关系。

ABSTRACT

We propose a new class of mathematical structures called (m,n)-semirings} (which generalize the usual semirings), and describe their basic properties. We also define partial ordering, and generalize the concepts of congruence, homomorphism, ideals, etc., for (m,n)-semirings. Following earlier work by Rao, we consider a system as made up of several components whose failures may cause it to fail, and represent the set of systems algebraically as an (m,n)-semiring. Based on the characteristics of these components we present a formalism to compare the fault tolerance behaviour of two systems using our framework of a partially ordered (m,n)-semiring.

研究动机与目标

• 将半环推广为(m,n)-半环，扩展用于多组件系统的代数工具。
• 使用(m,n)-半环将系统容错行为形式化为代数结构。
• 在(m,n)-半环上定义偏序，以基于组件可靠性实现系统容错性的比较。
• 将Rao早期基于半环的容错分析工作扩展到使用广义运算的更广泛系统类别。
• 建立在复合系统中，组件级容错支配关系蕴含系统级支配关系的条件。

提出的方法

• 将(m,n)-半环定义为具有m元运算f和n元运算g的代数结构，推广标准半环。
• 引入关键代数性质：单位元、吸收元、幂等元、同态映射及同余关系。
• 在(m,n)-半环上定义偏序≼，以表示系统间容错性支配关系。
• 利用m元和n元运算的分配律与结合律，从组件级支配关系推导出系统级支配关系。
• 证明：若某一系统中各组件相对于另一系统具有容错性优势，则系统级运算将保持此支配关系。
• 通过分析嵌套运算（如f(g(...))和g(f(...)))在偏序约束下的行为，将该框架应用于复杂系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将基于半环的容错建模推广至具有m元和n元组件交互的系统？
• RQ2 (m,n)-半环必须满足哪些代数性质，才能支持有意义的容错性比较？
• RQ3 在复合系统中，组件级容错支配关系在何种条件下可推出系统级支配关系？
• RQ4 如何利用(m,n)-半环上的偏序比较复杂系统的可靠性？
• RQ5 m元和n元运算的分配律与结合律对容错性分析有何影响？

主要发现

• 该(m,n)-半环框架推广了传统半环，支持使用m元和n元运算对系统容错性进行代数建模。
• 在(m,n)-半环上定义了偏序≼，使得组件级容错支配关系可推出系统级支配关系。
• 若对所有i有x_i ≼ y_i，则f(x_1^m) ≼ f(y_1^m)，证明m元运算保持容错顺序。
• 类似地，若对所有j有z_j ≼ u_j，则g(z_1^n) ≼ g(u_1^n)，表明n元运算也保持该顺序。
• 该框架支持嵌套运算：例如，当a_i ≼ b_i时，有f(x_1^{k-1}, f(a_1^m), x_{k+1}^m) ≼ f(y_1^{k-1}, f(b_1^m), y_{k+1}^m)。
• 即使运算被多次应用，结果依然成立，例如在组件支配关系下，有f^(m)(g(z_1^n)) ≼ f^(m)(g(u_1^n))。