[论文解读] ${ m SO}(n)$ covariant local tensor valuations on polytopes

Daniel Hug, Rolf Schneider|arXiv (Cornell University)|May 3, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文在不假设连续性的前提下，对凸多面体上的 SO(n)-协变局部张量取值的泛函进行了分类，将先前在 O(n) 协变性下的分类结果扩展至 SO(n) 协变性。由于对称性降低，在二维和三维中识别出额外的泛函，并通过面法向量和支撑集上的张量值测度完全刻画了这些泛函。

ABSTRACT

The Minkowski tensors are valuations on the space of convex bodies in ${\mathbb R}^n$ with values in a space of symmetric tensors, having additional covariance and continuity properties. They are extensions of the intrinsic volumes, and as these, they are the subject of classification theorems, and they admit localizations in the form of measure-valued valuations. For these local tensor valuations, restricted to convex polytopes, a classification theorem has been proved recently, under the assumption of isometry covariance, but without any continuity assumption. This characterization result is extended here, replacing the covariance under orthogonal transformations by invariance under proper rotations only. This yields additional local tensor valuations on polytopes in dimensions two and three, but not in higher dimensions. They are completely classified in this paper.

研究动机与目标

• 将凸多面体上局部张量泛函的分类从 O(n)-协变性推广至 SO(n)-协变性。
• 在不假设连续性的前提下，确定多面体上存在的 SO(n)-协变局部张量泛函。
• 识别并刻画由于对称性降低而在二维和三维中出现的新局部张量泛函。
• 证明泛函性质与弱连续性是 SO(n)-协变性与局部化结构的推论，无需事先假设。
• 对多面体上的 SO(n)-协变局部张量泛函提供完整分类，区分低维与高维中的行为差异。

提出的方法

• 利用局部张量泛函作为多面体法线循环上取值于测度的映射框架。
• 应用 SO(n) 的表示理论，对在适当旋转下不变的张量值测度进行分类。
• 将法线循环分解为不同维数的面，并对球面对应部分进行张量积分。
• 通过对称张量、投影以及对面积测度的积分，推导出在 k-维面上的泛函显式公式。
• 改进先前工作（Hug & Schneider, 2015）中的引理，以处理低维情形下的 SO(n) 不变量。
• 利用旋转不变性将系数简化为与面方向无关的常数，尤其在 n=2 和 n=3 时。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设连续性的前提下，凸多面体上存在哪些 SO(n)-协变局部张量泛函？
• RQ2 将 O(n)-协变性替换为 SO(n)-协变性，对局部张量泛函的空间有何影响？
• RQ3 为何在 SO(n) 协变性下，二维与三维中会出现额外的泛函，而在更高维中不会？
• RQ4 新发现的 SO(n)-协变泛函中，哪些可延拓为所有凸体上的弱连续泛函？
• RQ5 能否在不事先假设的前提下，从 SO(n) 协变性与局部化结构推导出泛函性质与连续性？

主要发现

• 在 n ≥ 4 的维度中，多面体上的 SO(n)-协变局部张量泛函与 O(n)-协变情形一致，未产生新泛函。
• 在 n = 2 和 n = 3 的维度中，由于 SO(n) 相较于 O(n) 的非单连通性，出现了额外的 SO(n)-协变局部张量泛函。
• 二维与三维中的新泛函通过涉及度量张量 Q 的幂、法向量张量积以及球面对应积分的面法向量上的积分显式构造。
• 在 n = 3 时，分类中包含涉及 Q^a Q_L^{b-a} 和 v_L × u 的项，反映了 SO(3)-不变张量场的更丰富结构。
• 在 n = 2 时，分类中包含涉及 Q^a 和 Q^a v_L × u 的项，捕捉了 SO(2) 的旋转结构与两点法向支撑特性。
• 完整分类可表示为 Q^m φ_k^{0,s,j}(P, A×B) 与 Q^m ~φ^{0,s,j}(P, A×B) 项的线性组合，其系数与多面体无关。