[论文解读] M-tensors and The Positive Definiteness of a Multivariate Form

Liping Zhang, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2012

Tensor decomposition and applications参考文献 28被引用 9

一句话总结

本文将M-张量作为M-矩阵的高阶推广，并证明了M-张量的最小实特征值为正，且对应的特征向量为非负。本文提出了一种收敛的迭代算法来计算该最小特征值，并建立了判断偶数阶多元形式正定性的等价条件：即其关联张量为M-张量，从而为非线性系统中的稳定性分析提供了计算上可行的方法。

ABSTRACT

We study M-tensors and various properties of M-tensors are given. Specially, we show that the smallest real eigenvalue of M-tensor is positive corresponding to a nonnegative eigenvector. We propose an algorithm to find the smallest positive eigenvalue and then apply the property to study the positive definiteness of a multivariate form.

研究动机与目标

• 将M-矩阵的理论扩展至高阶张量，定义并刻画M-张量。
• 建立具有非正对角线元素的张量为M-张量的充要条件。
• 开发一种用于计算M-张量最小实特征值的收敛算法。
• 将M-张量与偶数阶多元形式的正定性联系起来，以应用于稳定性分析。
• 为n > 3且m ≥ 4的情况，提供一种计算效率高于现有方法的正定性测试替代方案。

提出的方法

• 将M-张量定义为具有非正对角线元素且其谱性质与非负张量相关的张量。
• 利用非负张量的广义Perron-Frobenius定理，推导M-张量的特征值性质。
• 提出一种迭代算法，用于计算M-张量的最小实特征值，证明其对任意M-张量均全局收敛。
• 构造测试张量，将对角线元素设为Ad + Di...i，非对角线元素设为-Di...i，以生成M-张量候选。
• 通过检查所有实特征值是否为正，应用该算法验证给定张量是否为M-张量。
• 通过等价关系：对所有x ≠ 0有f(x) > 0 当且仅当其关联的对称张量为M-张量，将M-张量性质与偶数阶多元形式的正定性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 M-张量的最小实特征值是否恒为正，且是否对应于一个非负特征向量？
• RQ2 所有实特征值均为正的条件是否可作为张量为M-张量的充要条件？
• RQ3 是否存在一种对任意给定M-张量均收敛的算法，用于计算其最小实特征值？
• RQ4 判断偶数阶多元形式正定性是否等价于验证其关联张量为M-张量？
• RQ5 所提出的算法能否在不需对角线元素为正的条件下，高效处理高维高阶张量（n > 3，m ≥ 4）？

主要发现

• M-张量的最小实特征值为正，且其对应的特征向量为非负。
• 具有非正对角线元素的张量是M-张量，当且仅当其所有实特征值均为正。
• 所提出的用于计算最小实特征值的算法对任意M-张量均全局收敛。
• 当m=3且n=50时，平均CPU时间为15.2秒，表明该方法可扩展至中等维度。
• 所有100个随机生成的Ad = 1000的张量均被正确识别为M-张量，显示出高精度。
• 该方法推广了先前工作，消除了在多元形式分析中对正对角线元素的需求。