[论文解读] Maass spaces on U(2,2) and the Bloch-Kato conjecture for the symmetric square motive of a modular form

Krzysztof Klosin|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文引入了在判别式为素数的虚二次域上单位群U(2,2)的 adellic Maass空间，并建立了到椭圆尖形式的Hecke-等变下降。通过Maass提升与正交于Maass空间的Hermite模形式之间的同余关系，为对称平方动机Symm²ρφ(k−3)和Symm²ρφ(k)的Bloch-Kato猜想提供了证据，证明了在酉设置下Harder猜想的全纯类比。

ABSTRACT

Let K be an imaginary quadratic field of discriminant -D_K<0. We introduce a notion of an adelic Maass space S_{k, -k/2}^M for automorphic forms on the quasi-split unitary group U(2,2) associated with K and prove that it is stable under the action of all Hecke operators. When D_K is prime we obtain a Hecke-equivariant descent from S_{k,-k/2}^M to the space of elliptic cusp forms S_{k-1}(D_K, χ_K), where χ_K is the quadratic character of K. For a given ϕ\in S_{k-1}(D_K, χ_K), a prime l >k, we then construct (mod l) congruences between the Maass form corresponding to ϕand hermitian modular forms orthogonal to S_{k,-k/2}^M whenever the l-adic valuation of L^{alg}(\Sym^2 ϕ, k) is positive. This gives a proof of the holomorphic analogue of the unitary version of Harder's conjecture. Finally, we use these congruences to provide evidence for the Bloch-Kato conjecture for the motives \Sym^2 ρ_ϕ(k-3) and \Sym^2 ρ_ϕ(k), where ρ_ϕ denotes the Galois representation attached to ϕ.

研究动机与目标

• 将之前关于对称平方动机的Bloch-Kato猜想结果推广至所有判别式为素数的虚二次域。
• 克服先前依赖类数为1的域（如Q(i)）的方法的局限性。
• 从U(2,2)上的自守形式构造到椭圆尖形式的Hecke-等变下降。
• 通过Maass提升与正交于Maass空间的模形式之间的同余关系，在Selmer群中生成元素。
• 通过Selmer群的赋值界，为Symm²ρφ(k−3)和Symm²ρφ(k)的Bloch-Kato猜想提供证据。

提出的方法

• 在U(2,2)(A)上引入一个新的adellic Maass空间S_{k,−k/2}^M，其在所有Hecke算子作用下保持稳定。
• 证明了一个Rankin-Selberg型公式，将L-值与自守表示空间中的内积联系起来。
• 在D_K为素数时，从adellic Maass空间构造到椭圆尖形式空间S_{k−1}(D_K, χ_K)的Hecke-等变下降。
• 当val_ℓ(L^alg(Symm²φ, k)) > 0时，构造φ的Maass提升与正交于Maass空间的Hermite模形式之间的模ℓ同余。
• 应用Urban的方法，在Galois上同调中构造非分裂扩张，从这些同余关系生成H¹_f(K, W)的子模。
• 依赖于假设：与U(2,2)上非CAP的尖点自守表示相关的Galois表示是绝对不可约的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用高秩群上自守形式之间的同余关系，支持对称平方动机的Bloch-Kato猜想？
• RQ2 在判别式为素数的虚二次域上，U(2,2)自守形式到椭圆尖形式的Hecke-等变下降是否存在？
• RQ3 能否通过Maass提升与正交形式之间的同余关系，证明酉群上Harder猜想的全纯类比？
• RQ4 同余方法在高秩自守形式中的推广程度在多大程度上可超越类数为1的域？
• RQ5 Selmer群的赋值界与对称平方动机的特殊L-值之间有何关系？

主要发现

• adellic Maass空间S_{k,−k/2}^M在所有Hecke算子作用下保持稳定，使得对U(2,2)上自守形式的系统研究成为可能。
• 当D_K为素数时，建立了从S_{k,−k/2}^M到S_{k−1}(D_K, χ_K)的Hecke-等变下降。
• 当val_ℓ(L^alg(Symm²φ, k)) > 0时，构造了φ的Maass提升与正交于Maass空间的Hermite模形式之间的模ℓ同余。
• 这些同余关系在Galois上同调中产生非分裂扩张，生成H¹_f(K, W)的子模，其大小至少为Maass理想在局部Hecke代数中的指标。
• Selmer群H¹_f(K, W)的阶的赋值满足val_ℓ(#H¹_f(K, W)) ≥ val_ℓ(#H^NM,χ_m_φ / Φ_m_φ(Ann(f_φ,χ)))，为Bloch-Kato猜想提供了证据。
• 在附加假设下，val_ℓ(#H¹_f(K, W)) ≥ val_ℓ(#O/L^int(Symm²φ, k))，支持Selmer群阶包含于L-值理想中的结论。