[论文解读] Mabuchi metrics and properness of the modified DING functional

Yan Li, Bin Zhou|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文通过将修正Ding泛函在自守群的重新组合子群模下的恰当性与Mabuchi度量的存在性联系起来，建立了Fano流形上Mabuchi度量存在的恰当性准则。证明了若修正Ding泛函在包含由极值向量场生成的一参数子群的重新组合子群模下恰当，且临界值 $ c_X > 0 $，则Mabuchi度量存在。反之，Mabuchi度量的存在性意味着修正Ding泛函在完整自守群模下的恰当性，将Darvas-Rubinstein的恰当性原理扩展至该设定。

ABSTRACT

In this paper, we study Mabuchi metrics on Fano manifolds. We prove that Mabuchi metrics exist if the modified Ding functional is proper modulo a reductive subgroup of its automorphism group. On the other hand, the inverse that Mabuchi metrics implies the properness is obtained by using Darvas-Rubinstein's properness principle. As an application, we establish a criterion for the existence of Mabuchi metrics on Fano group compactifications.

研究动机与目标

• 建立Fano流形上Mabuchi度量存在的恰当性准则，扩展Kähler-Einstein与极值度量问题中使用的分析方法。
• 阐明修正Ding泛函的恰当性与Mabuchi度量存在性之间的关系，尤其在群作用下的情形。
• 通过自守群的重新组合子群模下修正Ding泛函的恰当性，提供Mabuchi度量存在的充分条件。
• 证明逆向结论：即Mabuchi度量的存在性意味着修正Ding泛函在自守群模下的恰当性，利用Darvas-Rubinstein的恰当性原理。

提出的方法

• 本文引入修正Ding泛函 $ \mathcal{D}_X(\phi) $，通过 $ \mathcal{H}_X(\omega_0) $ 上的路径积分定义，结合归一化势 $ \theta_X(\omega_\phi) $ 与Ricci势 $ h_0 $。
• 定义 $ c_X = \min_M \{1 - \theta_X(\omega_\phi)\} $ 与 $ C_X = \max_M \{1 - \theta_X(\omega_\phi)\} $，并证明 $ c_X > 0 $ 是Mabuchi度量存在的必要条件。
• 将Darvas-Rubinstein的恰当性原理应用于修正Ding泛函，证明若其在包含 $ K_X $ 的重新组合子群 $ H^c \supseteq K_X $ 模下恰当，则Mabuchi度量存在。
• 使用连续路径 $ \phi_t $ 求解涉及 $ (1 - \theta_X(\omega_{\phi_t}))^t $ 的复Monge-Ampère型方程，通过建立 $ C^0 $ 与 $ C^2 $ 先验估计，证明解集的开性与闭性。
• $ C^0 $-估计依赖于对Monge-Ampère方程的积分，并利用 $ c_X $ 与 $ C_X $ 有界 $ J_t(\phi_t) $，确保 $ \phi_t $ 的一致 $ L^\infty $ 有界性。
• 高阶估计由标准非线性椭圆理论得出，完成Mabuchi度量方程解的存在性连续法证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，修正Ding泛函在Fano流形上存在Mabuchi度量？
• RQ2 修正Ding泛函在重新组合子群模下的恰当性是否足以保证Mabuchi度量的存在？
• RQ3 Mabuchi度量的存在性是否意味着修正Ding泛函在自守群模下的恰当性？
• RQ4 临界值 $ c_X = \min_M \{1 - \theta_X(\omega_\phi)\} $ 如何限制Mabuchi度量的存在性？
• RQ5 能否将连续法应用于修正Ding泛函以证明Mabuchi度量的存在性？

主要发现

• 修正Ding泛函 $ \mathcal{D}_X(\phi) $ 在重新组合子群 $ H^c \subseteq \mathrm{Aut}_0(M) $ 模下恰当，当且仅当 $ c_X > 0 $ 且泛函满足恰当性条件。
• 若修正Ding泛函在包含 $ K_X $ 的重新组合子群 $ H^c $ 模下恰当，则Fano流形存在Mabuchi度量。
• Mabuchi度量的存在性意味着修正Ding泛函在完整自守群 $ \mathrm{Aut}_0(M) $ 模下的恰当性，依据Darvas-Rubinstein的恰当性原理。
• $ C^0 $-估计对连续路径 $ \phi_t $ 是一致的，且仅依赖于 $ c_X $ 与 $ C_X $，满足 $ |\phi_t| \leq C $，其中 $ C $ 为某一致常数。
• $ C^2 $-估计通过Laplacian比较论证建立，得到 $ n + \Delta_{\omega_0}\phi \leq C e^{c(\phi - \inf \phi)} $，其中 $ C, c $ 为一致常数，确保解集闭。
• 连续法成功完成：解集既开又闭，因此在 $ t = 1 $ 时存在解，对应于Mabuchi度量。