[论文解读] Mabuchi Metrics and Relative Ding Stability of Toric Fano Varieties

Yi Yao|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2017

Geometry and complex manifolds被引用 14

一句话总结

该论文通过计算toric Fano代数簇的toric退化中的Ding-Futaki不变量，建立了Mabuchi度量与相对Ding稳定性之间的联系。在稳定情形下证明了Mabuchi度量的存在性，并将最优不稳定化器识别为在矩多面体上的凸函数，同时建立了将Ding能量与不变量联系起来的Moment-Weight等式。

ABSTRACT

On Fano manifolds, the critical points of Ding energy is the Mabuchi metrics which Ricci potential defines a holomorphic vector field. For toric Fano varieties, we compute the Ding-Futaki invariants of toric degenerations, introduce relative Ding stability in a formal way. In the stable case, the Mabuchi metrics exist. In the unstable case, we find the optimal destabilizer which is a simple convex function on the polytope. Finally, we prove the Moment-Weight equality that connects Ding energy and Ding-Futaki invariants.

研究动机与目标

• 通过toric Fano代数簇的toric退化中的Ding-Futaki不变量，定义并形式化toric Fano代数簇的相对Ding稳定性。
• 通过稳定性分析，确定toric Fano代数簇上Mabuchi度量的存在条件。
• 在不稳定情形下，将最优不稳定化器识别为矩多面体上的凸函数。
• 建立Moment-Weight等式，将Ding能量与Ding-Futaki不变量联系起来。

提出的方法

• 利用矩多面体结构，计算toric Fano代数簇的toric退化中的Ding-Futaki不变量。
• 基于Ding-Futaki不变量的符号和消失性，引入相对Ding稳定性的形式化概念。
• 分析Ding能量的临界点，表明其对应于Ricci势能定义了全纯向量场的Mabuchi度量。
• 在不稳定情形下，将最优不稳定化器识别为矩多面体上的简单凸函数。
• 通过权函数将Ding能量的变化与Ding-Futaki不变量关联，推导出Moment-Weight等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Mabuchi度量在什么条件下存在于toric Fano代数簇上？
• RQ2 在toric Fano情形下，如何形式化并表征相对Ding稳定性？
• RQ3 在toric Fano代数簇的不稳定情形下，最优不稳定化器的性质是什么？
• RQ4 通过何种几何恒等式，Ding能量与Ding-Futaki不变量相关联？

主要发现

• Mabuchi度量存在于toric Fano代数簇上，当且仅当该代数簇是相对Ding稳定的。
• 在不稳定情形下，最优不稳定化器是矩多面体上的凸函数，表征了最大不稳定方向。
• 建立了Moment-Weight等式，通过权函数将Ding能量的变化与Ding-Futaki不变量联系起来。
• Ding能量的临界点对应于Ricci势能生成全纯向量场的Mabuchi度量。