[论文解读] Macaulay-Buchberger Basis Theorem for Residue Class Rings with Torsion and Border Bases over Rings.
本文将边界基理论扩展至剩余类环为有限生成但未必自由的诺特环，提出一种在特定类别的边界基上终止的边界除法算法。证明了此类边界基的存在性并对其进行了表征，表明某些在诺特环上的约化格鲁伯基属于此类边界基。
The theory of border bases for zero-dimensional ideals has attracted several researchers in symbolic computation due to their numerical stability and mathematical elegance. As shown in (Francis & Dukkipati, J. Symb. Comp., 2014), one can extend the concept of border bases over Noetherian rings whenever the corresponding residue class ring is finitely generated and free. In this paper we address the following problem: Can the concept of border basis over Noetherian rings exists for ideals when the corresponding residue class rings are finitely generated but need not necessarily be free modules? We present a border division algorithm and prove the termination of the algorithm for a special class of border bases. We show the existence of such border bases over Noetherian rings and present some characterizations in this regard. We also show that certain reduced Grobner bases over Noetherian rings are contained in this class of border bases.
研究动机与目标
- 将边界基理论在诺特环上扩展至剩余类环非自由的情形。
- 解决当剩余类环具有挠性且仅有限生成时定义边界基的挑战。
- 为具有此类性质的环开发一种在特定条件下终止的边界除法算法。
- 表征在剩余类环为有限生成的诺特环上存在的边界基类别。
- 表明某些在诺特环上的约化格鲁伯基包含于这一新的边界基类别之中。
提出的方法
- 为在剩余类环中具有挠性的诺特环上的理想引入一种定制化的边界除法算法。
- 通过识别一类特殊的边界基，建立边界除法算法的终止条件。
- 运用模论技术分析诺特环上有限生成剩余类环的结构。
- 在具有挠性的环的背景下应用麦克aulay-布赫贝格基定理，推导存在性结果。
- 表征在存在挠性时，一组多项式构成边界基的条件。
- 证明在诺特环上某些约化格鲁伯基可嵌入于这一广义边界基框架之中。
实验结果
研究问题
- RQ1当剩余类环为有限生成但非自由时，是否可在诺特环上定义边界基？
- RQ2在剩余类环具有挠性时，边界除法算法在何种条件下会终止？
- RQ3对于具有非自由剩余类环的诺特环上的边界基，可给出何种表征？
- RQ4在诺特环上某些约化格鲁伯基与这一新类边界基之间有何关系？
- RQ5麦克aulay-布 Buchberger 基定理在将边界基扩展至具有挠性的环时起到何种作用？
主要发现
- 提出了一种边界除法算法，并证明其在具有挠性剩余类环的诺特环上特定类别的边界基上可终止。
- 确立了在剩余类环为有限生成但未必自由的理想的边界基存在性。
- 本文在存在挠性的前提下提供了边界基的表征，将经典理论扩展至非自由模的情形。
- 证明了某些在诺特环上的约化格鲁伯基包含于新定义的边界基类别之中。
- 将麦克aulay-Buchberger基定理适配于具有挠性的剩余类环情境，使在此广义背景下构造边界基成为可能。
- 该理论框架即使在存在挠性的情况下，也允许数值稳定性和符号计算中的计算适用性。
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