[论文解读] Machine Learning and Variational Algorithms for Lattice Field Theory

Gurtej Kanwar|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2021

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文提出了两种新颖技术，以解决格点场论中的临界慢化和信噪比问题：一种基于流的生成式MCMC采样器，利用机器学习构建高效的提议分布；以及可观测量流形（observifold）方法，通过形变路径积分路径以最小化关联函数测量中的方差。两种方法在标量φ⁴理论和U(1)/SU(N)规范理论中均显著提升了采样效率并降低了方差。

ABSTRACT

In lattice quantum field theory studies, parameters defining the lattice theory must be tuned toward criticality to access continuum physics. Commonly used Markov chain Monte Carlo (MCMC) methods suffer from critical slowing down in this limit, restricting the precision of continuum extrapolations. Further difficulties arise when measuring correlation functions of operators widely separated in spacetime: for most correlation functions, an exponentially severe signal-to-noise problem is encountered as the operators are taken to be widely separated. This dissertation details two new techniques to address these issues. First, we define a novel MCMC algorithm based on generative flow-based models. Such models utilize machine learning methods to describe efficient approximate samplers for distributions of interest. Independently drawn flow-based samples are then used as proposals in an asymptotically exact Metropolis-Hastings Markov chain. We address incorporating symmetries of interest, including translational and gauge symmetries. We secondly introduce an approach to "deform" Monte Carlo estimators based on contour deformations applied to the domain of the path integral. The deformed estimators associated with an observable give equivalent unbiased measurements of that observable, but generically have different variances. We define families of deformed manifolds for lattice gauge theories and introduce methods to efficiently optimize the choice of manifold (the "observifold"), minimizing the deformed observable variance. Finally, we demonstrate that flow-based MCMC can mitigate critical slowing down and observifolds can exponentially reduce variance in proof-of-principle applications to scalar $ϕ^4$ theory and $\mathrm{U}(1)$ and $\mathrm{SU}(N)$ lattice gauge theories.

研究动机与目标

• 为解决临界点附近格点场论模拟中的临界慢化问题，其中标准MCMC方法变得低效。
• 克服远距离算符关联函数中信号-to-噪声比随距离指数恶化的难题。
• 开发基于机器学习的采样器，以提升Metropolis-Hastings算法中提议分布的效率。
• 提出一种路径积分路径形变的变分方法，以最小化可观测量的方差。
• 在φ⁴理论和U(1)/SU(N)格点规范场论中，通过原理验证应用展示这些方法的有效性。

提出的方法

• 提出一种基于流的生成模型，用于学习MCMC的提议分布，从而实现高效且近似独立的采样。
• 将基于流的采样器集成到Metropolis-Hastings算法中，以保证渐近精确性，同时减少随机游走行为。
• 在基于流的模型架构中整合平移对称性与规范对称性。
• 引入“可观测量流形”（observifolds）的概念——即在路径积分定义域中形变的流形，可产生等价但方差更低的可观测量测量结果。
• 利用基于梯度的方法优化形变参数，以最小化形变估计量的方差。
• 将这些方法应用于标量φ⁴理论和U(1)/SU(N)格点规范场论，以评估性能表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于流的生成模型能否用于构建格点场论中MCMC的高效且对称性保持的提议分布？
• RQ2 路径积分定义域的路径形变是否能显著降低关联函数测量的方差？
• RQ3 这些方法在相变附近在多大程度上能缓解临界慢化问题？
• RQ4 在具有规范对称性和全局对称性的实际格点场论中，这些方法表现如何？
• RQ5 能否通过路径积分路径的变分优化系统性地最小化可观测量的方差？

主要发现

• 基于流的MCMC方法成功减轻了格点场论模拟中的临界慢化，显著提升了临界点附近的采样效率。
• 可观测量流形方法在远距离算符关联函数中实现了指数级方差降低，有效克服了信噪比问题。
• 两种方法在标量φ⁴理论及U(1)和SU(N)格点规范场论中均表现有效，展现出广泛的适用性。
• 基于流的采样器在保持细致平衡和渐近精确性的同时，利用了学习到的提议分布。
• 可观测量流形形变的优化带来了估计量方差的显著降低，数值实验中已验证其定量改进效果。
• 将对称性整合到流模型中，在保持物理一致性的同时提升了采样性能。