[论文解读] Machine learning for many-body physics: efficient solution of dynamical mean-field theory

Louis-François Arsenault, O. Anatole von Lilienfeld+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2015

Machine Learning in Materials Science参考文献 2被引用 29

一句话总结

本文提出了一种机器学习框架，通过将输入的杂化函数映射到输出的自能和格林函数，高效求解动力学平均场理论（DMFT）方程。该方法在预测金属相和莫特绝缘体相、准粒子权重及粒子密度方面表现出高精度，表明机器学习可作为强关联材料的计算高效替代方法，具有实际材料应用的潜力。

ABSTRACT

Machine learning methods for solving the equations of dynamical mean-field theory are developed. The method is demonstrated on the three dimensional Hubbard model. The key technical issues are defining a mapping of an input function to an output function, and distinguishing metallic from insulating solutions. Both metallic and Mott insulator solutions can be predicted. The validity of the machine learning scheme is assessed by comparing predictions of full correlation functions, of quasi-particle weight and particle density to values directly computed. The results indicate that with modest further development, machine learning approach may be an attractive computational efficient option for real materials predictions for strongly correlated systems.

研究动机与目标

• 开发一种机器学习方法，以高效求解动力学平均场理论（DMFT）的泛函方程，该方程将输入的杂化函数映射为输出的自能和格林函数。
• 实现在强关联电子系统中对准粒子权重和粒子密度等关键物理量的准确预测。
• 通过函数到函数的映射区分金属相与莫特绝缘体相，克服标量输出机器学习模型的局限性。
• 在不同相互作用强度和能带结构下，通过与三维 Hubbard 模型的精确数值解对比，验证机器学习框架的有效性。
• 展示该方法在不同裸杂化函数表示形式下的鲁棒性，包括勒让德表示和ED类参数化。

提出的方法

• 该方法采用核岭回归（KRR）学习从包含裸杂化函数勒让德展开系数、相互作用强度U和化学势μ的描述符向量出发的泛函映射。
• 输入的杂化函数通过虚时域中的勒让德多项式展开表示，利用切比雪夫-勒让德变换和快速傅里叶变换实现高效数值处理。
• 自能和格林函数通过勒让德多项式系数在虚时域中重构，并通过球贝塞尔函数变换实现向马苏巴拉频率的解析延拓。
• 模型在三维 Hubbard 模型的 DMFT 方程精确解数据库上进行训练，涵盖不同的 t′/t 比值、U 和 μ。
• 描述符包含勒让德系数 {Δₗ⁰} 和来自精确对角化拟合的替代表示 {εₗ⁰, Vₗ⁰}，二者表现出相当的预测性能。
• 通过在1,000次独立训练/测试划分中计算中位数相对差异来评估预测精度，以确保对不良采样具有鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 机器学习能否有效用于求解 DMFT 的泛函方程，实现从输入杂化函数到输出自能和格林函数的映射？
• RQ2 机器学习在三维 Hubbard 模型的金属相与莫特绝缘体相中，对准粒子权重和粒子密度的预测精度如何？
• RQ3 杂化函数表示形式的选择——勒让德系数或ED类参数——是否影响机器学习模型的预测性能？
• RQ4 该机器学习框架是否能在不重新训练的情况下泛化至不同相互作用强度和能带结构？
• RQ5 当在不同组成的数据集上评估时，机器学习预测的鲁棒性如何？

主要发现

• 机器学习模型在金属相与莫特绝缘体相中均能准确预测准粒子权重 Z，当训练集大小为1,000个样本时，中位数相对差异低于5%。
• 模型在预测晶格粒子密度方面也表现出高精度，相对差异与准粒子权重相当，证实了其在不同物理 regime 下的鲁棒性。
• 使用勒让德多项式系数 {Δₗ⁰} 作为输入描述符，其预测性能与 ED 类参数化 {εₗ⁰, Vₗ⁰} 相当，验证了该表示的灵活性。
• 该方法成功区分了金属相与绝缘相解，能够在适当的 U 和 μ 值下正确识别莫特相变。
• 在1,000次独立训练/测试划分中计算的中位数相对差异指标，证实了机器学习预测在不同数据组成下的稳定性与可靠性。
• 结果表明，经进一步发展后，基于机器学习的 DMFT 求解器有望成为预测真实强关联材料电子性质的计算高效替代方案。