[论文解读] Macroscopic Lattice Boltzmann Method (MacLAB)

Jian Zhou|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2019

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文提出了宏观格子玻尔兹曼方法（MacLAB），这是一种对标准格子玻尔兹曼方法的重新表述，通过仅依赖格子尺寸 $\delta x$ 作为唯一基本参数，完全消除了碰撞步骤。通过将粘性通过粒子速度 $e = \delta x / \delta t$ 嵌入，MacLAB 实现了无条件稳定、内存使用减少，并可直接使用宏观边界条件，成功模拟了二维和三维基准问题中的粘性与无粘流动，包括涡旋腔流和泰勒-格林涡流。

ABSTRACT

The birth of the lattice Boltzmann method (LBM) fulfils a dream that simple arithmetic calculations can simulate complex fluid flows without solving complicated partial differential flow equations. Its power and potential of resolving more and more challenging physical problems have been and are being demonstrated in science and engineering covering a wide range of disciplines such as physics, chemistry, biology, material science and image analysis. The method is a highly simplified model for fluid flows using a few limited fictitious particles that move one grid at a constant time interval and collide each other at a grid point on uniform lattices, which are the two routine steps for implementation of the method to simulate fluid flows. As such, a real complex particle dynamics is approximated as a regular particle model using three parameters of lattice size, particle speed and collision operator. A fundamental question is "Are the two steps integral to the method or can the three parameters be reduced to one for a minimal lattice Boltzmann method?". Here, I show that the collision step can be removed and the standard LBM can be reformulated into a simple macroscopic lattice Boltzmann method (MacLAB). This model relies on macroscopic physical variables only and is completely defined by one basic parameter of lattice size dx, bringing the LBM into a precise "Lattice" Boltzmann method. The viscous effect on flows is naturally embedded through the particle speed, making it an ideal automatic simulator for fluid flows. The findings have been demonstrated and confirmed with numerical tests including flows that are independent of and dependent on fluid viscosity, 2D and 3D cavity flows, and an unsteady Taylor-Green vortex flow. This provides an efficient and powerful model for resolving physical problems in various disciplines of science and engineering.

研究动机与目标

• 探究是否可以在不损失精度或稳定性的前提下，从格子玻尔兹曼方法中移除碰撞步骤。
• 基于仅有的宏观物理变量和单一参数——格子尺寸 $\delta x$，开发一种最小化 LBM 公式。
• 实现无条件稳定、减少内存使用，并直接实现宏观边界条件。
• 在二维和三维配置的粘性与无粘流动中验证该方法。

提出的方法

• 通过移除碰撞步骤，仅保留粒子速度 $e = \delta x / \delta t$ 的传播步骤，对标准 LBM 进行重构。
• 仅使用平衡分布 $f_{\alpha}^{eq}$ 定义粒子分布函数，从而无需碰撞算子。
• 通过粒子速度 $e$ 自然嵌入流体粘性，使 $\nu = \frac{1}{6}(2\tau - 1)e\delta x$ 成为格子动力学的隐含结果。
• 使用标准的 D2Q9 和 D3Q19 格子结构，但移除松弛时间 $\tau$ 和碰撞矩阵 $\Omega_{\alpha\beta}$。
• 通过 Chapman-Enskog 分析确认，该方案以二阶精度恢复了纳维-斯托克斯方程。
• 直接使用宏观变量（密度 $\rho$、速度 $u_i$）作为边界条件，简化实现过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过移除碰撞步骤，将格子玻尔兹曼方法简化为单参数模型？
• RQ2 仅基于格子尺寸 $\delta x$ 的无碰撞 LBM 是否仍能准确恢复纳维-斯托克斯方程？
• RQ3 与标准 LBM 相比，此类方法是否能实现无条件稳定性和更低的内存使用？
• RQ4 该方法在二维和三维的粘性与无粘流动基准问题上的表现如何？
• RQ5 是否可以不重构分布函数，直接应用宏观边界条件？

主要发现

• 通过 Chapman-Enskog 分析，MacLAB 模型成功以二阶精度恢复了纳维-斯托克斯方程，证实了其理论有效性。
• 该方法实现了无条件稳定，消除了单松弛时间 LBM 中常见的数值不稳定性问题。
• 由于不再需要碰撞步骤及相关的分布函数存储，内存使用显著减少。
• 可直接使用密度和速度等宏观变量作为边界条件，简化了实现过程。
• 数值测试结果表明，该方法在二维和三维涡旋腔流以及非定常泰勒-格林涡流中，对粘性与无粘情况均实现了精确模拟。
• 粒子速度 $e = \delta x / \delta t$ 隐含编码了流体粘性，使 $\nu = \frac{1}{6}(2\tau - 1)e\delta x$ 成为格子结构的自然结果。