[论文解读] MacWilliams-type equivalence relations

Soohak Choi, Jong Yoon Hyun+2 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文通过定义对偶关系和权重分布，引入了在偏序码上的麦克威廉斯型等价关系，并建立了此类关系满足麦克威廉斯型恒等式的必要与充分条件。研究证明，在特定偏序结构下，由自同构诱导、基于基数以及基于序同构的等价关系在序理想上为麦克威廉斯型，从而统一了偏序码理论中的已知结果。

ABSTRACT

Let $\mathcal{P}$ be a poset on $[n]$, $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ the set of order ideals of $\mathcal{P}$ and $E$ an equivalence relation on $\mathcal{I}(\mathcal{P})$. The concepts of the dual relation $E^*$ of an equivalence relation $E$, the $E$-weight (resp. $E^*$-weight) distribution of a linear poset code (resp. its dual poset code) and a MacWilliams-type equivalence relation are introduced. We give a characterization for a MacWilliams-type equivalence relation in terms of MacWilliams-type identities for a linear poset code. Three kinds of equivalence relations on $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ which are of MacWilliams-type are found, i.e., $(i)$ we show that every equivalence relation defined by the automorphism of $\mathcal{P}$ is a MacWilliams-type; $(ii)$ we provide a new characterization for poset structures when the equivalence relation defined by the same cardinality on $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ becomes a MacWilliams-type; $(iii)$ we also give necessary and sufficient conditions for poset structures in which the equivalence relation defined by the order-isomorphism on $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ is a MacWilliams-type.

研究动机与目标

• 为解决偏序码理论中已知麦克威廉斯型恒等式统一的开放问题。
• 为满足麦克威廉斯型恒等式的偏序集序理想上的广义等价关系框架进行定义。
• 刻画由自同构、基数或序同构诱导的特定等价关系在何种条件下产生麦克威廉斯型恒等式。
• 通过矩阵形式建立线性偏序码的 E-权重分布与 E*-权重分布之间的对偶性。
• 为在不同等价关系下允许麦克威廉斯型恒等式的偏序结构提供必要与充分条件。

提出的方法

• 引入偏序集 $\mathcal{P}$ 的序理想集合 $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ 上等价关系 $E$ 的对偶关系 $E^*$。
• 为线性偏序码及其对偶定义 $E$-权重和 $E^*$-权重分布。
• 以矩阵形式推导麦克威廉斯型恒等式，其元素通过莫比乌斯反演和特征和显式构造。
• 应用莫比乌斯反演，将等价关系下码与其对偶的权重分布关联起来。
• 利用序同构和补集同构偏序集建立麦克威廉斯型行为的对称性条件。
• 利用自同构群 $H \leq \text{Aut}(\mathcal{P})$ 的群作用，推导出 $E_H$ 与 $E_H^*$ 之间的对称恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$\mathcal{I}(\mathcal{P})$ 上的等价关系 $E$ 是麦克威廉斯型等价关系？
• RQ2 当 $\mathcal{P}$ 的自同构所定义的等价关系是麦克威廉斯型关系时，其条件为何？
• RQ3 何种偏序结构允许 $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ 上基于基数的等价关系为麦克威廉斯型？
• RQ4 在什么条件下，基于序同构的 $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ 上的等价关系是麦克威廉斯型关系？
• RQ5 线性偏序码的 $E$-权重分布与它的对偶的 $E^*$-权重分布之间的确切联系是什么？

主要发现

• 由偏序集 $\mathcal{P}$ 的自同构群 $H$ 诱导的每一个等价关系都是麦克威廉斯型等价关系。
• $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ 上基于基数的等价关系是麦克威廉斯型，当且仅当偏序集 $\mathcal{P}$ 满足金与奥（Kim and Oh, 2012）先前分类的条件。
• $\mathcal{I}(\mathcal{P})$ 上基于序同构的等价关系是麦克威廉斯型，当且仅当 $\mathcal{P}$ 是一个补集同构偏序集。
• 对于一个补集同构偏序集 $\mathcal{P}$，码的 $E_S$-权重分布与它的对偶的 $E_S^*$-权重分布之间满足麦克威廉斯型恒等式。
• 通过莫比乌斯反演显式构造了麦克威廉斯型恒等式的矩阵形式，其元素涉及 $M(I)$ 和 $M(J^c)$ 的子集上的求和。
• 为自同构诱导的等价关系推导出对称恒等式：$\frac{|\{\sigma \in H \mid \sigma(J^c) = J^c\}|}{(q-1)^{|M(J^c)|}q^{|(J^c)_M|}} p_{\overline{J^c}, \overline{I}} = \frac{|\{\sigma \in H \mid \sigma(I) = I\}|}{(q-1)^{|M(I)|}q^{|I_M|}} q_{\overline{I}, \overline{J^c}}$。