[论文解读] MAD Families and SANE Player

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文研究在各種集合論假設下，飽和的MAD族（即無限子集ℕ的極大幾乎不相交族，且完全可分離）的存在性。透過力迫與pcf理論，本文證明：若連續統小於ℵω，或不存在具有可測基數的內模型，或在某些基數不變量約束下，此類族存在，從而解決了集合論中長期存在的相容性問題。

ABSTRACT

We throw some light on the question: is there a MAD family (= a family of infinite subsets of N, the intersection of any two is finite) which is completely separable (i.e. any X subseteq N is included in a finite union of members of the family or include a member of the family). We prove that it is hard to prove the consistency of the negation: (a) if 2^{aleph_0} < aleph_omega, then there is such a family (b) if there is no such families then some situation related to pcf holds whose consistency is large.

研究动机与目标

• 確定在何種相容條件下，ℕ上存在飽和MAD族。
• 分析基數不變量如𝔞*、𝔰和𝔟與飽和MAD族存在性之間的關係。
• 表明此類族不存在時，會導致強大的pcf理論假設，顯示其相容性並非顯而易見。
• 將先前關於幾乎不相交族與可分離性的結果推廣至飽和情形。
• 釐清博弈論與力迫構造在建立此類族中的角色。

提出的方法

• 在假設2^ℵ₀ < ℵω下，使用合適的偏序集進行力迫，以構造飽和MAD族。
• 運用pcf理論方法，分析飽和MAD族不存在的相容性強度。
• 應用MAD與SANE玩家之間的博弈論框架來引導構造，但最終證明使用直接力迫。
• 將問題簡化為基數不變量如𝔰與𝔞*，表明𝔰 < 𝔞*足以保證存在性。
• 採用標準MAD族構造的修改版本，結合分裂樹與幾乎不相交族。
• 使用「服從」函數f ∈ ω^ω的概念，以控制幾乎不相交族的結構。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種集合論假設下，ℕ上存在飽和MAD族？
• RQ2 飽和MAD族不存在的相容性強度為何？
• RQ3 基數不變量如𝔞*、𝔰與𝔟如何與飽和MAD族的存在性相關？
• RQ4 此類族的存在性是否可在比先前認為更弱的ZFC假設下證明？
• RQ5 飽和MAD族的不存在性與pcf理論現象是否存在關聯？

主要发现

• 若2^ℵ₀ < ℵω，則ℕ上存在飽和MAD族，且此族可嵌入任意稠密族J* ⊆ [ω]^ℵ₀中。
• 飽和MAD族不存在會導致存在具有高相容性強度的pcf配置，顯示此類族在強集合論假設下是相容的。
• 若不存在具有可測基數的內模型，則即使不假設2^ℵ₀ < ℵω，也存在飽和MAD族。
• 飽和MAD族的存在性由𝔰 < 𝔞*所隱含，且此條件可弱化為𝔰 ≤ 𝔞*與𝔰 < 𝔞。
• 基數不變量𝔞*滿足𝔟 ≤ 𝔞* ≤ 𝔞，其數值在決定飽和MAD族的存在性中起關鍵作用。
• 本文確立了四種「完全可分離」MAD族變體彼此等價，簡化了飽和性的分析。