[论文解读] Maharam-Types and Lyapunov's Theorem for Vector Measures on Locally Convex Spaces without Control Measures

M. Ali Khan, Nobusumi Sagara|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2015

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文在无BDS性质的局部凸Hausdorff空间（lcHs）中，利用Bourbaki–Kluvánek–Lewis积分，建立了向量测度的Lyapunov凸性定理的精确版本。它通过布尔σ代数的非可分性刻画了向量测度代数的饱和性，并证明了饱和性等价于lcHs中的Lyapunov凸性定理与控制系统的bang-bang原理。

ABSTRACT

We formulate the saturation property for vector measures in lcHs as a nonseparability condition on the derived Boolean $σ$-algebras by drawing on the topological structure of vector measure algebras. We exploit a Pettis-like notion of vector integration in lcHs, the Bourbaki--Kluvánek--Lewis integral, to derive an exact version of the Lyapunov convexity theorem in lcHs without the BDS property. We apply our Lyapunov convexity theorem to the bang-bang principle in Lyapunov control systems in lcHs to provide a further characterization of the saturation property.

研究动机与目标

• 在无控制测度的lcHs中，通过导出的布尔σ代数的非可分性，形式化向量测度的饱和性。
• 利用Bourbaki–Kluvánek–Lewis积分，将Lyapunov凸性定理推广至无BDS性质的lcHs。
• 通过bang-bang原理与lcHs中的Lyapunov控制系统刻画饱和性。
• 在无限维设定下，建立饱和性、Lyapunov凸性与bang-bang原理之间的等价性。

提出的方法

• 将饱和性形式化为从向量测度导出的可测集布尔σ代数上的非可分性条件。
• 在lcHs中采用Bourbaki–Kluvánek–Lewis积分作为类似Pettis的向量积分方法，定义积分而无需控制测度。
• 利用[17]中向量测度代数的拓扑结构，分析L¹(m)空间的完备性与可分性。
• 在L¹(n_i)的乘积空间中应用弱紧致性与凸性论证，以建立Lyapunov测度的性质。
• 利用积分算子T: ∏L¹(n_i) → ∏X_i，将可测选择与控制系统中的可达集联系起来。
• 应用bang-bang原理，证明可达集的弱紧致性蕴含饱和性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在无控制测度的lcHs中为向量测度的饱和性提出形式化？
• RQ2 在无BDS性质的lcHs中，能否建立Lyapunov凸性定理的精确版本？
• RQ3 在lcHs中，饱和性、bang-bang原理与Lyapunov控制系统的相互关系为何？
• RQ4 向量测度的饱和性是否等价于其在无限维lcHs中值域的凸性与弱紧致性？
• RQ5 Lyapunov凸性定理能否通过lcHs中控制系统的可达性来刻画？

主要发现

• 在lcHs中，向量测度的饱和性等价于其关联的可测集布尔σ代数的非可分性。
• 在无BDS性质的lcHs中，Lyapunov凸性定理成立当且仅当向量测度代数是饱和的。
• 对于所有向量测度m ∈ ca(Ω, m, ∏X_i)，bang-bang原理成立当且仅当测度m是饱和的。
• 对于闭向量测度m: F → X^I，当且仅当m是饱和的，对每个Γ ∈ M_bfc(Ω, ℝ^I)，m是Lyapunov控制系统。
• 可达集A_Γ(m)等于极值选择集A_ex_Γ(m)当且仅当测度是饱和的，从而在控制系统与饱和性之间建立了对偶关系。
• 积分算子T: ∏L¹(n_i) → ∏X_i关于弱拓扑是连续的，确保在饱和条件下向量测度值域的弱紧致性。