[论文解读] Mahler measures and Fuglede--Kadison determinants

Christopher Deninger|ArXiv.org|May 5, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 17

一句话总结

本文建立了洛朗多项式马勒度量与群冯诺依曼代数中弗格莱德-卡迪森行列式之间的深刻联系，表明对于群 $\mathbb{Z}^d$，算子的弗格莱德-卡迪森行列式恰好等于其符号的马勒度量。关键贡献在于识别出 $\mathrm{det}_{{\cal N}{\mathbb{Z}}^{d}}(A) = M(\hat{A})$，该识别统一了这些不变量的分析、动力系统和代数方面，并在非交换设定下开启了关于行列式连续性与极小性的新问题。

ABSTRACT

The Mahler measure of a function on the real d-torus is its geometric mean over the torus. It appears in number theory, ergodic theory and other fields. The Fuglede-Kadison determinant is defined in the context of von Neumann algebra theory and can be seen as a noncommutative generalization of the Mahler measure. In the paper we discuss and compare theorems in both fields, especially approximation theorems by finite dimensional determinants. We also explain how to view Fuglede-Kadison determinants as continuous functions on the space of marked groups.

研究动机与目标

• 澄清在群冯诺依曼代数背景下马勒度量与弗格莱德-卡迪森行列式之间的关系。
• 将关于马勒度量的经典结果（如有限维行列式的逼近与 $M(z - P)$ 的连续性）推广到弗格莱德-卡迪森行列式的非交换设定中。
• 研究当 $f$ 固定在 $L^1(\Gamma)$ 中时，映射 $\Gamma \mapsto \mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}(f)$ 的连续性，特别是在标记群的背景下。
• 探讨 $\mathbb{Z}\Gamma$ 中满足 $\mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}f = 1$ 的元素 $f$ 的结构，推广克罗内克关于马勒度量为 1 的多项式的定理。

提出的方法

• 利用群冯诺依曼代数 $\mathcal{N}\mathbb{Z}^d$ 与 $L^\infty(T^d, \mu)$ 之间的典范同构，通过 $\mathrm{det}_{{\cal N}{\mathbb{Z}}^{d}}(A) = M(\hat{A})$ 将弗格莱德-卡迪森行列式与马勒度量相联系。
• 应用采格定理与托普利茨行列式逼近方法，证明马勒度量可由有限维行列式逼近，并将此结果推广至可约群中的弗格莱德-卡迪森行列式。
• 在冯诺依曼代数中运用函数演算与谱论，为可逆 $A$ 定义 $\log|A|$ 和 $\mathrm{det}_{{\cal N}}A = \exp \tau(\log|A|)$。
• 利用布朗测度与次调和性分析函数 $z \mapsto \log \det_{{\cal N}\Gamma}(z - f)$，证明其上半连续性及在谱之外的连续性。
• 应用 $L^2$-扭量与熵理论的结果，将 $\log \det_{{\cal N}\Gamma}f$ 解释为代数 $\Gamma$-作用的熵不变量。
• 考虑 $L^1(\Gamma)^\times$ 的交换化，证明 $\mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}f$ 仅依赖于 $f$ 在交换化中的像，反映其对换位子扰动的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些可数离散群 $\Gamma$ 与元素 $f \in \mathbb{Z}\Gamma$，有 $\mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}f = 1$ 成立？
• RQ2 是否对所有 $f \in \mathbb{Z}\Gamma \cap L^1(\Gamma)^\times$ 且在 $\mathbb{Z}\Gamma$ 中不是单位的元素，均有 $\mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}f > 1$？
• RQ3 对于 $f \in \mathbb{C}\Gamma$，函数 $z \mapsto \mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}(z - f)$ 在 $\mathbb{C}$ 上是否连续？
• RQ4 当 $f$ 在 $L^1(\Gamma)$ 中可逆时，弗格莱德-卡迪森行列式 $\mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}(f)$ 是否关于 $\Gamma$ 的标记群结构连续变化？

主要发现

• 群 $\mathcal{N}\mathbb{Z}^d$ 中算子 $A$ 的弗格莱德-卡迪森行列式等于其符号的马勒度量：$\mathrm{det}_{{\cal N}{\mathbb{Z}}^{d}}(A) = M(\hat{A})$。
• 当 $f$ 在 $L^1(\Gamma)$ 中可逆时，映射 $\Gamma \mapsto \mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}(f)$ 在标记群空间上是连续的。
• 对于在 $\mathbb{Z}\Gamma \cap L^1(\Gamma)^\times$ 中且在 $\mathbb{Z}\Gamma$ 中不可左逆的 $f$，若 $\Gamma$ 是剩余有限且可约的，则有 $\mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}f > 1$。
• 函数 $z \mapsto \log \det_{{\cal N}\Gamma}(z - f)$ 在 $\mathbb{C}$ 上是次调和的，且在 $f$ 的谱之外连续，对于有限群与离散海森堡群，通过积分表示建立了连续性。
• $\mathrm{det}_{{\cal N}\Gamma}f$ 仅依赖于 $f$ 在 $L^1(\Gamma)^\times$ 的交换化中的像，反映了其对换位子扰动的不变性。
• 对于 $f \in \mathbb{Z}\mathbb{Z}^d \cap L^1(\mathbb{Z}^d)^\times$，有 $\mathrm{det}_{{\cal N}\mathbb{Z}^d}f > 1$，除非 $f$ 是 $\mathbb{Z}[\mathbb{Z}^d]$ 中的单位元，从而推广了经典的马勒度量不等式 $M(P) \geq 1$。