[论文解读] Maintaining the Union of Unit Discs Under Insertions with Near-Optimal Overhead

Pankaj K. Agarwal, Ravid Cohen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 3

一句话总结

本文提出了一种动态数据结构，用于在插入操作下维护单位圆的并集以及伪线的下包络，实现了近乎最优的更新时间。它引入了一种线性规模的结构，支持在 O((k + 1) log²n) 时间内进行插入和查询，其中 k 为结构变化的规模，并通过范围搜索技术实现了单位圆与圆弧之间高效交集报告，查询时间复杂度为 O(n^{1/2+ε} + k)。

ABSTRACT

We present efficient data structures for problems on unit discs and arcs of their boundary in the plane. (i) We give an output-sensitive algorithm for the dynamic maintenance of the union of n unit discs under insertions in O(k log^2 n) update time and O(n) space, where k is the combinatorial complexity of the structural change in the union due to the insertion of the new disc. (ii) As part of the solution of (i) we devise a fully dynamic data structure for the maintenance of lower envelopes of pseudo-lines, which we believe is of independent interest. The structure has O(log^2 n) update time and O(log n) vertical ray shooting query time. To achieve this performance, we devise a new algorithm for finding the intersection between two lower envelopes of pseudo-lines in O(log n) time, using tentative binary search; the lower envelopes are special in that at x=-infty any pseudo-line contributing to the first envelope lies below every pseudo-line contributing to the second envelope. (iii) We also present a dynamic range searching structure for a set of circular arcs of unit radius (not necessarily on the boundary of the union of the corresponding discs), where the ranges are unit discs, with O(n log n) preprocessing time, O(n^{1/2+epsilon} + l) query time and O(log^2 n) amortized update time, where l is the size of the output and for any epsilon>0. The structure requires O(n) storage space.

研究动机与目标

• 开发一种动态数据结构，用于在插入操作下以近乎最优的开销维护单位圆的并集。
• 支持在每次插入后高效计算并集面积。
• 支持快速报告所有与查询单位圆相交的圆弧。
• 在插入和删除操作下维护 x-单调伪线的下包络，并提供高效的查询支持。
• 实现与结构组合变化成比例的输出敏感性能。

提出的方法

• 使用三个独立的数据结构：一个用于左端点，一个用于右端点，一个用于与每个弧 e 关联的区域 L(e)。
• 对左端点和右端点使用单位圆范围搜索，利用标准数据结构实现 O(n^{1/2+ε} + k) 的查询时间。
• 对集合 L = {L(e) | e ∈ C} 应用逆范围搜索，以报告包含查询点的区域。
• 利用懒惰部分重建技术，支持插入和删除操作的 O(log²n) 摊还更新时间。
• 通过涉及端点和区域 L(e) 的几何条件对弧与圆的交集进行表征，从而实现高效过滤。
• 依赖一个几何引理，将两个单位圆的交集关系与通过其切点的直线及一个半平面联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以以输出敏感的更新时间动态维护单位圆的并集？
• RQ2 是否可以在插入和删除操作下高效维护伪线的下包络并提供高效的查询支持？
• RQ3 是否可以以输出敏感的时间复杂度高效查询单位半径的圆弧与查询单位圆的交集？
• RQ4 动态维护单位圆并集时，空间与更新/查询时间之间的最优权衡是什么？
• RQ5 是否可以高效捕获并更新单位圆并集边界在插入过程中的结构变化？

主要发现

• 一种线性规模的数据结构在插入操作下维护单位圆的并集，更新时间复杂度为 O((k + 1) log²n)，其中 k 为结构变化的组合复杂度。
• 每次插入后，可在相同时间复杂度内计算并集面积。
• 一种数据结构支持伪线的插入与删除操作，时间复杂度为 O(log²n)，并可在 O(log n) 时间内报告给定 x 坐标处的下包络点。
• 对于 R² 中的查询点 q，所有位于 q 下方的 k 条伪线可在 O(log n + k log²n) 时间内报告。
• 一种用于圆弧的数据结构支持与查询单位圆的交集报告，时间复杂度为 O(n^{1/2+ε} + k)，插入/删除操作的更新时间复杂度为 O(log²n)。
• 这些数据结构具有输出敏感性，实现了近乎最优的性能，查询时间依赖于输出大小及一个较小的 ε > 0。